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北海道大学 2011年理系第3問解説

方針・初手

(1) 求める円の方程式を一般形 $x^2 + y^2 + lx + my + n = 0$ とおき、与えられた3点の座標を代入して未定係数 $l, m, n$ を決定する。図形の対称性に注目して中心を直接置く手法も有効である。

(2) 球面 $S$ が $xy$ 平面上の3点 $O, A', B'$ を通ることから、中心 $C$ の $x$ 座標と $y$ 座標は (1) で求めた円の中心と一致する。球面の式を立て、直線 $l$ の媒介変数表示を代入し、$t$ についての2次方程式が実数解をもつ条件（判別式）を考える。

解法1

(1)

求める円の方程式を一般形で次のようにおく。

$$ x^2 + y^2 + lx + my + n = 0 $$

円は原点 $O(0,0)$ を通るから、$n = 0$ である。点 $A(2,1)$ を通るから、方程式に代入して

$$ 2^2 + 1^2 + 2l + m = 0 $$

$$ 2l + m = -5 $$

点 $B(1,2)$ を通るから、方程式に代入して

$$ 1^2 + 2^2 + l + 2m = 0 $$

$$ l + 2m = -5 $$

これらを連立して解くと、$l = -\frac{5}{3}, m = -\frac{5}{3}$ となる。したがって、求める円の方程式は以下のようになる。

$$ x^2 + y^2 - \frac{5}{3}x - \frac{5}{3}y = 0 $$

(2)

球面 $S$ の中心を $C(a,b,c)$ とすると、球面は原点 $O(0,0,0)$ を通るので、その半径 $R$ の2乗は $R^2 = a^2 + b^2 + c^2$ である。したがって、球面 $S$ の方程式は次のように表せる。

$$ (x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 $$

球面 $S$ は点 $A'(2,1,0), B'(1,2,0)$ も通るため、これらを代入して

$$ \begin{cases} (2 - a)^2 + (1 - b)^2 + c^2 = a^2 + b^2 + c^2 \\ (1 - a)^2 + (2 - b)^2 + c^2 = a^2 + b^2 + c^2 \end{cases} $$

展開して整理すると、次の連立方程式を得る。

$$ \begin{cases} 4a + 2b = 5 \\ 2a + 4b = 5 \end{cases} $$

これを解いて $a = \frac{5}{6}, b = \frac{5}{6}$ となる。これにより、球面 $S$ の方程式は $c$ を用いて次のように決まる。

$$ \left(x - \frac{5}{6}\right)^2 + \left(y - \frac{5}{6}\right)^2 + (z - c)^2 = \frac{25}{18} + c^2 $$

直線 $l$ は空間上の点 $(x, y, z) = (t+2, t+2, t)$ と表される。球面 $S$ と直線 $l$ が共有点をもつのは、これを球面の方程式に代入して得られる $t$ の方程式が実数解をもつときである。

$$ \left(t + 2 - \frac{5}{6}\right)^2 + \left(t + 2 - \frac{5}{6}\right)^2 + (t - c)^2 = \frac{25}{18} + c^2 $$

$$ 2\left(t + \frac{7}{6}\right)^2 + (t - c)^2 = \frac{25}{18} + c^2 $$

展開して整理する。

$$ 2\left(t^2 + \frac{7}{3}t + \frac{49}{36}\right) + t^2 - 2ct + c^2 = \frac{25}{18} + c^2 $$

$$ 3t^2 + 2\left(\frac{7}{3} - c\right)t + \frac{49}{18} = \frac{25}{18} $$

$$ 3t^2 + 2\left(\frac{7}{3} - c\right)t + \frac{4}{3} = 0 $$

両辺を3倍する。

$$ 9t^2 + 6\left(\frac{7}{3} - c\right)t + 4 = 0 $$

この $t$ についての2次方程式の判別式を $D$ とすると、$D \geqq 0$ となればよい。

$$ \frac{D}{4} = 9\left(\frac{7}{3} - c\right)^2 - 36 \geqq 0 $$

$$ (7 - 3c)^2 - 36 \geqq 0 $$

$$ (7 - 3c - 6)(7 - 3c + 6) \geqq 0 $$

$$ (1 - 3c)(13 - 3c) \geqq 0 $$

$$ (3c - 1)(3c - 13) \geqq 0 $$

これを解いて $c \leqq \frac{1}{3}, \frac{13}{3} \leqq c$ を得る。求める条件は $a, b, c$ 全てについての条件であるから、$a, b$ の値もあわせて答える。

解法2

(1)

点 $O(0,0), A(2,1), B(1,2)$ の座標に注目すると、これらは直線 $y = x$ に関して対称に配置されている。したがって、この3点を通る円の中心も直線 $y = x$ 上に存在する。円の中心を $(k, k)$ とおくと、原点 $O$ を通ることから半径の2乗は $k^2 + k^2 = 2k^2$ となる。よって、円の方程式は次のように表せる。

$$ (x - k)^2 + (y - k)^2 = 2k^2 $$

これが点 $A(2,1)$ を通るので、代入して

$$ (2 - k)^2 + (1 - k)^2 = 2k^2 $$

$$ 4 - 4k + k^2 + 1 - 2k + k^2 = 2k^2 $$

$$ -6k + 5 = 0 $$

これより $k = \frac{5}{6}$ となる。中心は $\left(\frac{5}{6}, \frac{5}{6}\right)$、半径の2乗は $2 \left(\frac{5}{6}\right)^2 = \frac{25}{18}$ であるから、円の方程式は次のようになる。

$$ \left(x - \frac{5}{6}\right)^2 + \left(y - \frac{5}{6}\right)^2 = \frac{25}{18} $$

(2)

球面 $S$ の中心 $C$ の $x$ 座標と $y$ 座標の決定は解法1と同様であり、$a = \frac{5}{6}, b = \frac{5}{6}$ である。球面 $S$ の半径を $R$ とすると $R^2 = \frac{25}{18} + c^2$ であり、中心は $C\left(\frac{5}{6}, \frac{5}{6}, c\right)$ である。直線 $l$ は定点 $P(2,2,0)$ を通り、方向ベクトル $\vec{d} = (1,1,1)$ をもつ。球面 $S$ と直線 $l$ が共有点をもつための条件は、中心 $C$ と直線 $l$ の距離 $d$ について $d^2 \leqq R^2$ が成り立つことである。

直線 $l$ 上の任意の点を $Q(t+2, t+2, t)$ とし、$\vec{CQ} \perp \vec{d}$ となる $t$ を求める。

$$ \vec{CQ} = \left(t + \frac{7}{6}, t + \frac{7}{6}, t - c\right) $$

$\vec{CQ} \cdot \vec{d} = 0$ より

$$ 1 \cdot \left(t + \frac{7}{6}\right) + 1 \cdot \left(t + \frac{7}{6}\right) + 1 \cdot (t - c) = 0 $$

$$ 3t + \frac{7}{3} - c = 0 $$

$$ t = \frac{3c - 7}{9} $$

このとき、各成分を計算する。

$$ t + \frac{7}{6} = \frac{3c - 7}{9} + \frac{21}{18} = \frac{6c - 14 + 21}{18} = \frac{6c + 7}{18} $$

$$ t - c = \frac{3c - 7}{9} - \frac{9c}{9} = \frac{-6c - 7}{9} = \frac{-12c - 14}{18} $$

よって距離の2乗 $d^2$ は

$$ d^2 = |\vec{CQ}|^2 = \left(\frac{6c + 7}{18}\right)^2 + \left(\frac{6c + 7}{18}\right)^2 + \left(\frac{-2(6c + 7)}{18}\right)^2 $$

$$ d^2 = \frac{6(6c + 7)^2}{18^2} = \frac{(6c + 7)^2}{54} $$

$d^2 \leqq R^2$ に代入する。

$$ \frac{(6c + 7)^2}{54} \leqq \frac{25}{18} + c^2 $$

両辺を54倍する。

$$ (6c + 7)^2 \leqq 75 + 54c^2 $$

$$ 36c^2 + 84c + 49 \leqq 54c^2 + 75 $$

$$ 18c^2 - 84c + 26 \geqq 0 $$

$$ 9c^2 - 42c + 13 \geqq 0 $$

$$ (3c - 1)(3c - 13) \geqq 0 $$

これを解いて $c \leqq \frac{1}{3}, \frac{13}{3} \leqq c$ となる。

解説

(1) は平面座標における基本的な円の方程式の決定問題である。未定係数を連立方程式で求める標準的な解法のほか、対称性に気付けば計算を簡略化できる。 (2) は空間座標における球面と直線の位置関係を問う問題である。球面の中心の $x, y$ 座標が (1) の円の中心と一致するという空間的背景を正確に捉えることが第一のポイントである。直線と球面の共有点の条件については、直線の方程式を球面の方程式に代入し、2次方程式の実数解の条件（判別式）に帰着させるのが最も直接的で計算ミスが少ない。解法2のように点と直線の距離を比較する方法も同様に有効である。