トップ› 大阪大学› 1963年› 理系第6問

大阪大学 1963年理系第6問解説

方針・初手

点 $(a, 0)$ を通り円 $C$ に接する直線 $l$ の接点の座標を求め、回転体となる図形を把握する。
求める体積は、円錐の体積から球の一部（球欠）の体積を引いたものとなるため、それぞれを計算する。
球の体積 $\frac{4}{3}\pi$ と等置し、$a$ についての方程式を解く。

解法1

円 $C: x^2 + y^2 = 1$ 上の接点を $(x_0, y_0)$ とおくと、接線 $l$ の方程式は $$ x_0 x + y_0 y = 1 $$ と表される。直線 $l$ が点 $(a, 0)$ を通るから $$ a x_0 = 1 \iff x_0 = \frac{1}{a} $$ 点 $(a, 0)$ は円 $C$ の外にあるため $a > 1$ であり、$x_0$ は存在する。

このとき、接点の $y$ 座標は $x_0^2 + y_0^2 = 1$ より $$ y_0^2 = 1 - \frac{1}{a^2} = \frac{a^2 - 1}{a^2} $$ $x$ 軸まわりの回転体は $x$ 軸対称な図形から生成されるため、$y_0 > 0$ としても一般性を失わない。 $$ y_0 = \frac{\sqrt{a^2 - 1}}{a} $$

球面 $S$ と円錐面 $K$ は、$x = \frac{1}{a}$ の平面上の円で接している。 $S$ と $K$ によって囲まれる部分は、頂点が $(a, 0)$ で底面が半径 $y_0$ の円（平面 $x = \frac{1}{a}$ 上）である円錐から、球面 $S$ の $\frac{1}{a} \le x \le 1$ の部分（球欠）を除いた立体である。

この円錐の体積を $V_1$、球欠の体積を $V_2$ とすると、それぞれの体積は以下のようになる。 $$ V_1 = \frac{1}{3} \pi y_0^2 \left( a - \frac{1}{a} \right) = \frac{1}{3} \pi \left( \frac{a^2 - 1}{a^2} \right) \left( \frac{a^2 - 1}{a} \right) = \frac{\pi(a^2 - 1)^2}{3a^3} $$

$$ \begin{aligned} V_2 &= \int_{\frac{1}{a}}^{1} \pi (1 - x^2) dx \\ &= \pi \left[ x - \frac{x^3}{3} \right]_{\frac{1}{a}}^{1} \\ &= \pi \left( 1 - \frac{1}{3} \right) - \pi \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{3a^3} \right) \\ &= \frac{2}{3}\pi - \frac{\pi(3a^2 - 1)}{3a^3} \\ &= \frac{\pi(2a^3 - 3a^2 + 1)}{3a^3} \end{aligned} $$

したがって、$S$ と $K$ によって囲まれる部分の体積 $V$ は $$ \begin{aligned} V &= V_1 - V_2 \\ &= \frac{\pi(a^2 - 1)^2}{3a^3} - \frac{\pi(2a^3 - 3a^2 + 1)}{3a^3} \\ &= \frac{\pi}{3a^3} \left( (a^4 - 2a^2 + 1) - (2a^3 - 3a^2 + 1) \right) \\ &= \frac{\pi}{3a^3} (a^4 - 2a^3 + a^2) \\ &= \frac{\pi a^2(a^2 - 2a + 1)}{3a^3} \\ &= \frac{\pi(a - 1)^2}{3a} \end{aligned} $$

一方、球面 $S$ は半径 $1$ の球であるから、その内部の体積は $\frac{4}{3}\pi$ である。条件より、$V = \frac{4}{3}\pi$ となるので $$ \frac{\pi(a - 1)^2}{3a} = \frac{4}{3}\pi $$

両辺に $\frac{3a}{\pi}$ を掛けて整理すると $$ (a - 1)^2 = 4a \iff a^2 - 6a + 1 = 0 $$

これを解くと $$ a = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4}}{2} = 3 \pm 2\sqrt{2} $$

ここで、$a > 1$ の条件を確認する。 $3 - 2\sqrt{2} = 3 - \sqrt{8}$ であり、$2 < \sqrt{8} < 3$ より $0 < 3 - 2\sqrt{2} < 1$ となるため不適。 $3 + 2\sqrt{2} > 1$ は適する。

よって、$a = 3 + 2\sqrt{2}$ である。

解説

回転体の体積に関する標準的な問題である。図形の形状を把握し、「囲まれる部分」がどのような立体になるかを正確に捉えることが第一歩となる。 $S$ と $K$ が接している点（円）を境界として、円錐の体積から球の端の部分（球欠）の体積を引くという立式ができれば、あとは計算をミスなく進めるだけである。 $a$ の方程式を解いた後、$a > 1$ の条件を忘れずに確認すること。