京都大学 1964年 文系 第1問 解説

方針・初手

（イ） は2変数の場合の相加平均と相乗平均の大小関係を土台に、4変数の場合を考える。

（ロ） は （イ） の結果を用い、分子と分母の積の関係に注目して式全体を眺める。

解法1

(イ)

$x > 0, y > 0$ のとき、2変数の相加平均と相乗平均の大小関係より、

$$ \frac{x+y}{2} \geqq \sqrt{xy} $$

が成り立つ。等号成立は $x=y$ のときである。

$a_1, a_2, a_3, a_4$ は正の数であるから、$\frac{a_1+a_2}{2}$ と $\frac{a_3+a_4}{2}$ も正の数である。与式の左辺は次のように変形できる。

$$ \frac{a_1+a_2+a_3+a_4}{4} = \frac{1}{2} \left( \frac{a_1+a_2}{2} + \frac{a_3+a_4}{2} \right) $$

$a_1, a_2$ および $a_3, a_4$ に対してそれぞれ2変数の相加・相乗平均の大小関係を用いると、$\frac{a_1+a_2}{2} \geqq \sqrt{a_1 a_2}$ および $\frac{a_3+a_4}{2} \geqq \sqrt{a_3 a_4}$ が成り立つため、

$$ \frac{1}{2} \left( \frac{a_1+a_2}{2} + \frac{a_3+a_4}{2} \right) \geqq \frac{\sqrt{a_1 a_2} + \sqrt{a_3 a_4}}{2} $$

となる。ここで、$\sqrt{a_1 a_2} > 0$ かつ $\sqrt{a_3 a_4} > 0$ であるから、これら2つの数に対して再度相加・相乗平均の大小関係を用いると、

$$ \frac{\sqrt{a_1 a_2} + \sqrt{a_3 a_4}}{2} \geqq \sqrt{\sqrt{a_1 a_2} \cdot \sqrt{a_3 a_4}} = \sqrt{\sqrt{a_1 a_2 a_3 a_4}} = \sqrt[4]{a_1 a_2 a_3 a_4} $$

を得る。以上より、

$$ \frac{a_1+a_2+a_3+a_4}{4} \geqq \sqrt[4]{a_1 a_2 a_3 a_4} $$

が成り立つ。

等号が成立するのは、$a_1 = a_2$ かつ $a_3 = a_4$ かつ $\sqrt{a_1 a_2} = \sqrt{a_3 a_4}$ がすべて成り立つとき、すなわち $a_1 = a_2 = a_3 = a_4$ のときである。

(ロ)

$a_1, a_2, a_3, a_4$ は正の数であり、$b_1, b_2, b_3, b_4$ はそれらの順序を任意にかえたものである。 したがって、4つの分数 $\frac{a_1}{b_1}, \frac{a_2}{b_2}, \frac{a_3}{b_3}, \frac{a_4}{b_4}$ はすべて正の数である。

これら4つの正の数に対して、（イ） で証明した不等式を適用すると、

$$ \frac{\frac{a_1}{b_1} + \frac{a_2}{b_2} + \frac{a_3}{b_3} + \frac{a_4}{b_4}}{4} \geqq \sqrt[4]{\frac{a_1}{b_1} \cdot \frac{a_2}{b_2} \cdot \frac{a_3}{b_3} \cdot \frac{a_4}{b_4}} $$

が成り立つ。

ここで、右辺の根号の中身の分子は $a_1 a_2 a_3 a_4$ であり、分母は $b_1 b_2 b_3 b_4$ である。 $b_1, b_2, b_3, b_4$ は $a_1, a_2, a_3, a_4$ の並べ替えにすぎないため、積の交換法則よりその総乗は等しくなる。すなわち、

$$ b_1 b_2 b_3 b_4 = a_1 a_2 a_3 a_4 $$

である。これにより、根号の中身は、

$$ \frac{a_1 a_2 a_3 a_4}{b_1 b_2 b_3 b_4} = \frac{a_1 a_2 a_3 a_4}{a_1 a_2 a_3 a_4} = 1 $$

となる。したがって、不等式は次のように簡略化される。

$$ \frac{\frac{a_1}{b_1} + \frac{a_2}{b_2} + \frac{a_3}{b_3} + \frac{a_4}{b_4}}{4} \geqq \sqrt[4]{1} = 1 $$

両辺に4を掛けることで、

$$ \frac{a_1}{b_1} + \frac{a_2}{b_2} + \frac{a_3}{b_3} + \frac{a_4}{b_4} \geqq 4 $$

が得られる。

等号成立条件は、（イ） の結果より $\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \frac{a_3}{b_3} = \frac{a_4}{b_4}$ のときである。これらの積が1であることから、すべてが1に等しいとき、すなわち $a_1=b_1$ かつ $a_2=b_2$ かつ $a_3=b_3$ かつ $a_4=b_4$ のときに等号が成立する。

解説

（イ） は4変数の相加・相乗平均の大小関係を導く典型的な問題である。2変数の場合の不等式をトーナメント戦のように2回適用する手法は、一般の $2^n$ 変数の相加・相乗平均の大小関係を数学的帰納法で証明する際の根幹となる。

（ロ） は証明した不等式の応用である。「積を計算すると1になる」ような変数の組を見つけると整理しやすい。分母の集合と分子の集合が一致すると積が約分されて定数になる。

答え

(イ)

2変数の相加・相乗平均の大小関係を2回用いると不等式が得られる。

（ロ） （イ） の不等式において、4つの変数をそれぞれ $\frac{a_1}{b_1}, \frac{a_2}{b_2}, \frac{a_3}{b_3}, \frac{a_4}{b_4}$ とし、それらの積が1になることを用いる。