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京都大学 1963年文系第5問解説

方針・初手

まず分母の根号から $x$ の定義域を確定させる。その後、両辺が正であることを用いて2乗し、絶対値と根号を外して2次不等式に帰着させる。最後に、得られた解が最初の定義域を満たしているかを吟味する。

解法1

与えられた不等式は以下の通りである。

$$ \left| \frac{r - nx}{\sqrt{nx(1-x)}} \right| < a $$

まず、分母の根号内が正でなければならないため、$nx(1-x) > 0$ が成り立つ。問題の条件より $n > 0$ であるから、両辺を $n$ で割ると $x(1-x) > 0$ となり、$x$ の定義域は以下のようになる。

$$ 0 < x < 1 $$

この定義域のもとで、与式の両辺はともに正である（左辺は絶対値、右辺は $a > 0$ より正）。したがって、両辺を2乗しても同値性は保たれる。

$$ \frac{(r - nx)^2}{nx(1-x)} < a^2 $$

両辺に正の値である $nx(1-x)$ を掛けて整理する。

$$ (r - nx)^2 < a^2nx(1-x) $$

$$ r^2 - 2rnx + n^2x^2 < a^2nx - a^2nx^2 $$

$$ (n^2 + a^2n)x^2 - (2rn + a^2n)x + r^2 < 0 $$

$n > 0$ より、両辺を $n$ で割る。

$$ (n + a^2)x^2 - (2r + a^2)x + \frac{r^2}{n} < 0 $$

ここで、左辺の2次関数を $f(x) = (n + a^2)x^2 - (2r + a^2)x + \frac{r^2}{n}$ とおく。方程式 $f(x) = 0$ の判別式を $D$ とすると、

$$ D = (2r + a^2)^2 - 4(n + a^2) \cdot \frac{r^2}{n} $$

$$ D = 4r^2 + 4ra^2 + a^4 - 4r^2 - \frac{4a^2r^2}{n} $$

$$ D = a^2 \left( a^2 + 4r - \frac{4r^2}{n} \right) = a^2 \left\{ a^2 + 4r\left( 1 - \frac{r}{n} \right) \right\} $$

問題の条件より $a > 0, r > 0, n > 0$ であり、かつ $r < n$ であるから $1 - \frac{r}{n} > 0$ となる。したがって $D > 0$ が成り立ち、$f(x) = 0$ は異なる2つの実数解をもつ。これらを $\alpha, \beta$ （$\alpha < \beta$）とおくと、解の公式より以下のようになる。

$$ \alpha = \frac{2r + a^2 - a\sqrt{a^2 + 4r - \frac{4r^2}{n}}}{2(n + a^2)}, \quad \beta = \frac{2r + a^2 + a\sqrt{a^2 + 4r - \frac{4r^2}{n}}}{2(n + a^2)} $$

2次不等式 $f(x) < 0$ の解は $\alpha < x < \beta$ となる。これが定義域 $0 < x < 1$ に含まれることを確認する。

$f(x)$ の $x = 0$ および $x = 1$ における値は、

$$ f(0) = \frac{r^2}{n} > 0 $$

$$ f(1) = (n + a^2) - (2r + a^2) + \frac{r^2}{n} = n - 2r + \frac{r^2}{n} = \frac{n^2 - 2rn + r^2}{n} = \frac{(n - r)^2}{n} $$

$n > r$ より $n - r \neq 0$ であるため、$f(1) > 0$ となる。

次に、放物線 $y = f(x)$ の軸は直線 $x = \frac{2r + a^2}{2(n + a^2)}$ である。この軸が区間 $0 < x < 1$ にあることを示す。

$$ \frac{2r + a^2}{2(n + a^2)} > 0 $$

これは $r > 0, a > 0, n > 0$ より明らかに成り立つ。また、1との大小を比較すると、

$$ 1 - \frac{2r + a^2}{2(n + a^2)} = \frac{2n + 2a^2 - 2r - a^2}{2(n + a^2)} = \frac{2(n - r) + a^2}{2(n + a^2)} $$

$n > r, a > 0$ より分子は正であり、分母も正であるから、この値は正となる。すなわち、

$$ \frac{2r + a^2}{2(n + a^2)} < 1 $$

が得られる。

以上より、下に凸な放物線 $y = f(x)$ について、$f(0) > 0$ かつ $f(1) > 0$ であり、軸が $0 < x < 1$ の範囲に存在し、さらに $x$ 軸と異なる2点で交わることがわかった。これにより、$f(x) = 0$ の2解 $\alpha, \beta$ は $0 < \alpha < \beta < 1$ を満たすことが証明された。

したがって、不等式 $f(x) < 0$ の解 $\alpha < x < \beta$ は、定義域 $0 < x < 1$ を完全に満たす。