京都大学 1974年 文系 第1問 解説

方針・初手

通る3点の座標が与えられているため、これらを二次関数の一般形 $y = ax^2 + bx + c$ に代入し、$a, b, c$ についての連立3元1次方程式を立てて係数を決定する。その後、得られた二次関数を平方完成し、頂点の $x$ 座標を求めればよい。

解法1

二次関数 $y = ax^2 + bx + c$ のグラフが3点 $(1, 3)$、$(2, 6)$、$(-1, 9)$ を通るので、それぞれの座標を $x, y$ に代入して以下の連立方程式を得る。

$$ \begin{cases} a + b + c = 3 & \cdots \text{①} \\ 4a + 2b + c = 6 & \cdots \text{②} \\ a - b + c = 9 & \cdots \text{③} \end{cases} $$

①と③の式を比較すると $a$ と $c$ の係数が等しいため、①から③を引いて $a$ と $c$ を消去する。

$$ (a + b + c) - (a - b + c) = 3 - 9 $$

$$ 2b = -6 $$

$$ b = -3 $$

求めた $b = -3$ を①および②に代入して整理する。

①より、

$$ a - 3 + c = 3 $$

$$ a + c = 6 \quad \cdots \text{④} $$

②より、

$$ 4a - 6 + c = 6 $$

$$ 4a + c = 12 \quad \cdots \text{⑤} $$

⑤から④を引いて $c$ を消去する。

$$ (4a + c) - (a + c) = 12 - 6 $$

$$ 3a = 6 $$

$$ a = 2 $$

$a = 2$ を④に代入する。

$$ 2 + c = 6 $$

$$ c = 4 $$

以上より、$a = 2, b = -3, c = 4$ となり、これは問題の条件である $a \neq 0$ を満たす。したがって、求める二次関数は以下のように確定する。

$$ y = 2x^2 - 3x + 4 $$

この関数の値が最小になるときの $x$ の値を求めるため、右辺を平方完成する。

$$ \begin{aligned} y &= 2\left(x^2 - \frac{3}{2}x\right) + 4 \\ &= 2\left(x - \frac{3}{4}\right)^2 - 2\left(\frac{3}{4}\right)^2 + 4 \\ &= 2\left(x - \frac{3}{4}\right)^2 - \frac{9}{8} + \frac{32}{8} \\ &= 2\left(x - \frac{3}{4}\right)^2 + \frac{23}{8} \end{aligned} $$

$x^2$ の係数である $2$ は正であるため、この二次関数のグラフは下に凸の放物線となる。よって、$y$ は頂点において最小値をとる。

解説

通過する3点が与えられた二次関数を決定する最も標準的な問題だ。頂点や軸に関する条件が与えられていないため、基本形 $y = a(x-p)^2 + q$ ではなく、一般形 $y = ax^2 + bx + c$ に代入して連立方程式を解く方針が素早い。

連立3元1次方程式を解く際は、やみくもに文字を消去するのではなく、係数の特徴を観察すると計算量を減らすことができる。本問では $x = 1$ と $x = -1$ のときの値が与えられているため、$a+c$ と $b$ の項の符号に着目して足し引きすることで、容易に $b$ の値を単独で求めることができる。

答え

$$ x = \frac{3}{4} $$