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京都大学 2008年理系第4問（乙）解説

方針・初手

2つの関数のグラフの共有点の $x$ 座標は、方程式 $|x^2 - 2| = |2x^2 + ax - 1|$ の実数解です。したがって、この方程式の実数解の個数を調べます。

絶対値の等式 $|A| = |B|$ は、$A = B$ または $A = -B$ と同値であることを利用し、絶対値を外して2つの2次方程式に帰着させます。あとはそれぞれの方程式の実数解の個数を判別式で調べ、さらに「2つの方程式が共通解をもつ場合」に注意して全体の解の個数を分類します。

解法1

共有点の $x$ 座標は、方程式 $|x^2 - 2| = |2x^2 + ax - 1|$ の実数解である。

この方程式は、次の2つの条件のいずれかが成り立つことと同値である。

$$ x^2 - 2 = 2x^2 + ax - 1 \iff x^2 + ax + 1 = 0 \quad \cdots (1) $$

$$ x^2 - 2 = -(2x^2 + ax - 1) \iff 3x^2 + ax - 3 = 0 \quad \cdots (2) $$

したがって、求める共有点の個数は、方程式(1)と(2)の実数解の個数を合わせたものになる。

方程式(1), (2)の判別式をそれぞれ $D_1, D_2$ とすると、

$$ D_1 = a^2 - 4 = (a+2)(a-2) $$

$$ D_2 = a^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = a^2 + 36 $$

$a$ は実数であるから $a^2 \geq 0$ であり、$D_2 > 0$ は常に成り立つ。したがって、方程式(2)は $a$ の値によらず常に異なる2つの実数解をもつ。

一方、方程式(1)の実数解の個数は $D_1$ の符号により以下のように分類される。

$D_1 > 0$ すなわち $a < -2, 2 < a$ のとき、異なる2つの実数解をもつ。
$D_1 = 0$ すなわち $a = \pm 2$ のとき、1つの実数解（重解）をもつ。
$D_1 < 0$ すなわち $-2 < a < 2$ のとき、実数解をもたない。

次に、方程式(1)と(2)が共通の実数解をもつ条件を調べる。

共通解を $\alpha$ とおくと、

$$ \alpha^2 + a\alpha + 1 = 0 \quad \cdots (3) $$

$$ 3\alpha^2 + a\alpha - 3 = 0 \quad \cdots (4) $$

(4)

$-$ (3) より、

$$ 2\alpha^2 - 4 = 0 $$

$$ \alpha^2 = 2 $$

よって、共通解となり得るのは $\alpha = \pm\sqrt{2}$ のみである。

(i) $\alpha = \sqrt{2}$ が共通解のとき

(3)に代入して、$2 + \sqrt{2}a + 1 = 0$

$$ \sqrt{2}a = -3 \iff a = -\frac{3\sqrt{2}}{2} $$

このとき、共通解は $\sqrt{2}$ の1つである。

(ii) $\alpha = -\sqrt{2}$ が共通解のとき

(3)に代入して、$2 - \sqrt{2}a + 1 = 0$

$$ \sqrt{2}a = 3 \iff a = \frac{3\sqrt{2}}{2} $$

このとき、共通解は $-\sqrt{2}$ の1つである。

ここで、$a = \pm\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$ は $a^2 = \dfrac{9}{2} = 4.5 > 4$ より $a < -2, 2 < a$ の範囲に含まれることに注意する。

以上を踏まえ、全体の実数解（共有点）の個数 $N$ を $a$ の値によって分類する。

$N$ は、（(1)の解の個数）＋（(2)の解の個数）－（共通解の個数）で求められる。

(ア) $-2 < a < 2$ のとき

(1)の解は0個、(2)の解は2個。共通解はなし。$N = 0 + 2 - 0 = 2$

(イ) $a = \pm 2$ のとき

(1)の解は1個、(2)の解は2個。共通解はなし。$N = 1 + 2 - 0 = 3$

(ウ) $a = \pm\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$ のとき

(1)の解は2個、(2)の解は2個。共通解は1個。$N = 2 + 2 - 1 = 3$

(エ) $a < -2, 2 < a$ かつ $a \neq \pm\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$ のとき

(1)の解は2個、(2)の解は2個。共通解はなし。$N = 2 + 2 - 0 = 4$

解説

絶対値を含んだ2つの関数のグラフの交点を求める問題です。

基本公式である $|A| = |B| \iff A = B \lor A = -B$ を用いることで、場合分けをすることなくスムーズに2つの2次方程式に帰着させることができます。

帰着された方程式は $(x^2+ax+1)(3x^2+ax-3)=0$ を解くことと同値であり、それぞれの方程式の判別式を調べるだけでなく、「2つの方程式が同じ解（共通解）をもつ場合、解の個数を重複して数えてしまう」という点に気づけるかが最大の鍵となります。共通解の候補は、2式を連立して $x^2$ と $ax$ の項を消去することで絞り込めます。