京都大学 1974年 文系 第2問 解説

方針・初手

三角形の2辺の長さとその間の角に対する面積の公式を用いて、まず $\sin\theta$ の値を求める。その後、三角比の相互関係を用いて $\cos\theta$ の絶対値を計算する。

解法1

$\triangle ABC$ の面積を $S$ とすると、条件より $S = 4$ である。

三角形の面積の公式より、以下の等式が成り立つ。

$$ S = \frac{1}{2} AB \cdot BC \sin(\angle ABC) $$

与えられた条件 $AB = 2$、$BC = 5$、$\angle ABC = \theta$ を代入する。

$$ 4 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 5 \cdot \sin\theta $$

これを計算すると、以下のようになる。

$$ 4 = 5 \sin\theta $$

整理して、

$$ \sin\theta = \frac{4}{5} $$

次に、三角比の相互関係 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ を用いて $\cos^2\theta$ を求める。

$$ \cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta $$

$$ \cos^2\theta = 1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2 $$

$$ \cos^2\theta = 1 - \frac{16}{25} $$

$$ \cos^2\theta = \frac{9}{25} $$

求める値は $|\cos\theta|$ である。$|\cos\theta| = \sqrt{\cos^2\theta}$ であるから、以下のように計算できる。

$$ |\cos\theta| = \sqrt{\frac{9}{25}} $$

$$ |\cos\theta| = \frac{3}{5} $$

解説

三角形の面積公式 $S = \frac{1}{2}bc\sin A$ と、三角比の基本性質である相互関係 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ を組み合わせる標準的な問題だ。

角 $\theta$ は三角形の内角であるため $0^\circ < \theta < 180^\circ$ であり、$\sin\theta > 0$ となる。このとき $\theta$ が鋭角であれば $\cos\theta > 0$、鈍角であれば $\cos\theta < 0$ となるが、本問では絶対値 $|\cos\theta|$ が問われているため、$\theta$ の取り得る範囲による場合分けを行う必要はなく、$\cos^2\theta$ の値からただちに答えを決定できる。

答え

$$ |\cos\theta| = \frac{3}{5} $$