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京都大学 1976年文系第2問解説

方針・初手

与えられている条件式 $\frac{2(\mathbf{a}, \mathbf{b})}{(\mathbf{b}, \mathbf{b})}$ が整数であることを、ベクトルのなす角 $\theta$ と長さの比を用いて立式します。内積の定義 $(\mathbf{a}, \mathbf{b}) = |\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta$ を用いて条件式を書き換えます。さらに、$\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ の役割を入れ替えた式も同様に整数となることに着目し、2つの式の積をとることで $\cos^2\theta$ のとりうる値を絞り込むのが第一歩です。

解法1

(i)

$S$ に属する任意の2つのベクトル $\mathbf{a}, \mathbf{b}$ のなす角を $\theta$ ($0^\circ \le \theta \le 180^\circ$) とする。

内積の定義より $(\mathbf{a}, \mathbf{b}) = |\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta$ 、および $(\mathbf{b}, \mathbf{b}) = |\mathbf{b}|^2$ であるから、問題の条件式は次のように変形できる。

$$ \frac{2(\mathbf{a}, \mathbf{b})}{(\mathbf{b}, \mathbf{b})} = \frac{2|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta}{|\mathbf{b}|^2} = 2 \frac{|\mathbf{a}|}{|\mathbf{b}|} \cos\theta $$

条件よりこれが整数となるので、その値を $m$ とおく。

$$ m = 2 \frac{|\mathbf{a}|}{|\mathbf{b}|} \cos\theta \quad \cdots \text{①} $$

同様に、$\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ を入れ替えても条件を満たすので、次のような整数 $n$ が存在する。

$$ n = \frac{2(\mathbf{b}, \mathbf{a})}{(\mathbf{a}, \mathbf{a})} = 2 \frac{|\mathbf{b}|}{|\mathbf{a}|} \cos\theta \quad \cdots \text{②} $$

①と②の辺々を掛け合わせると、長さの比が打ち消されて以下の関係式が得られる。

$$ mn = 4 \cos^2\theta $$

ここで、$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ より $0 \le \cos^2\theta \le 1$ であるから、

$$ 0 \le mn \le 4 $$

$m, n$ は整数であるから、$mn$ がとりうる値は $0, 1, 2, 3, 4$ のいずれかである。

$mn = 0$ のとき、$\cos^2\theta = 0$ より $\theta = 90^\circ$。
$mn = 1$ のとき、$\cos^2\theta = \frac{1}{4}$ より $\cos\theta = \pm \frac{1}{2}$。よって $\theta = 60^\circ, 120^\circ$。
$mn = 2$ のとき、$\cos^2\theta = \frac{1}{2}$ より $\cos\theta = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$。よって $\theta = 45^\circ, 135^\circ$。
$mn = 3$ のとき、$\cos^2\theta = \frac{3}{4}$ より $\cos\theta = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$。よって $\theta = 30^\circ, 150^\circ$。
$mn = 4$ のとき、$\cos^2\theta = 1$ より $\cos\theta = \pm 1$。よって $\theta = 0^\circ, 180^\circ$。

以上より、$\theta$ は $0^\circ, 30^\circ, 45^\circ, 60^\circ, 90^\circ$ および、それぞれの補角である $180^\circ, 150^\circ, 135^\circ, 120^\circ$ のうちの1つであることが示された。

(ii)

角 $\theta$ が $0^\circ, 30^\circ, 60^\circ$ の場合を考える。このとき $\cos\theta > 0$ であり、①と②より $m > 0, n > 0$ となるため、$m, n$ は正の整数（自然数）である。

$\theta = 0^\circ$ のとき $\cos 0^\circ = 1$ であり、$mn = 4$ を満たす自然数の組 $(m, n)$ は $(1, 4), (2, 2), (4, 1)$ である。 ①より $\frac{|\mathbf{a}|}{|\mathbf{b}|} = \frac{m}{2}$ であるから、それぞれ $\frac{|\mathbf{a}|}{|\mathbf{b}|} = \frac{1}{2}, 1, 2$ となる。したがって、2つのベクトルの長さの比は $1:1$ または $1:2$ である。
$\theta = 30^\circ$ のとき $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ であり、$mn = 3$ を満たす自然数の組 $(m, n)$ は $(1, 3), (3, 1)$ である。 ①より $\frac{|\mathbf{a}|}{|\mathbf{b}|} = \frac{m}{\sqrt{3}}$ であるから、それぞれ $\frac{|\mathbf{a}|}{|\mathbf{b}|} = \frac{1}{\sqrt{3}}, \sqrt{3}$ となる。したがって、2つのベクトルの長さの比は $1:\sqrt{3}$ である。
$\theta = 60^\circ$ のとき $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$ であり、$mn = 1$ を満たす自然数の組 $(m, n)$ は $(1, 1)$ である。 ①より $\frac{|\mathbf{a}|}{|\mathbf{b}|} = m$ であるから、$\frac{|\mathbf{a}|}{|\mathbf{b}|} = 1$ となる。したがって、2つのベクトルの長さの比は $1:1$ である。

(iii)

(ii) の結果より、$30^\circ$ の角をなす2つのベクトルの長さの比は $1:\sqrt{3}$ である。ここでは $|\mathbf{a}| < |\mathbf{b}|$ とし、$\mathbf{a}$ を基準（ $0^\circ$ の向き）としたとき、$\mathbf{b}$ が反時計回りに $30^\circ$ の方向にある場合を例として構成する。

$|\mathbf{a}| = 1, |\mathbf{b}| = \sqrt{3}$ とおくと、$(\mathbf{a}, \mathbf{a}) = 1, (\mathbf{b}, \mathbf{b}) = 3$ であり、$(\mathbf{a}, \mathbf{b}) = 1 \cdot \sqrt{3} \cos 30^\circ = \frac{3}{2}$ である。

原点を始点とし、$30^\circ$ 間隔で並ぶ12個のベクトルが、長さ $1$ と $\sqrt{3}$ を交互に繰り返すように配置すれば条件を満たす。短いベクトル（長さ1）のなす角を $0^\circ, 60^\circ, 120^\circ, 180^\circ, 240^\circ, 300^\circ$、長いベクトル（長さ $\sqrt{3}$）のなす角を $30^\circ, 90^\circ, 150^\circ, 210^\circ, 270^\circ, 330^\circ$ とする。

$\mathbf{a}$ は $0^\circ$、$\mathbf{b}$ は $30^\circ$ のベクトルである。他の角度のベクトル $\mathbf{v}_\phi$ は、すべて $\mathbf{a}, \mathbf{b}$ の線型結合 $\mathbf{v}_\phi = x\mathbf{a} + y\mathbf{b}$ として表すことができる。係数 $x, y$ は、内積の条件から連立方程式を解いて求める。

例として、$90^\circ$ 方向の長いベクトル $\mathbf{v}_{90}$ を求める。 $\mathbf{v}_{90}$ は $\mathbf{a}$ と $90^\circ$、$\mathbf{b}$ と $60^\circ$ の角をなすので、

$$ \begin{cases} (\mathbf{v}_{90}, \mathbf{a}) = \sqrt{3} \cdot 1 \cdot \cos 90^\circ = 0 \\ (\mathbf{v}_{90}, \mathbf{b}) = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \cos 60^\circ = \frac{3}{2} \end{cases} $$

$\mathbf{v}_{90} = x\mathbf{a} + y\mathbf{b}$ を代入すると、

$$ \begin{cases} x(\mathbf{a}, \mathbf{a}) + y(\mathbf{a}, \mathbf{b}) = x + \frac{3}{2}y = 0 \\ x(\mathbf{a}, \mathbf{b}) + y(\mathbf{b}, \mathbf{b}) = \frac{3}{2}x + 3y = \frac{3}{2} \end{cases} $$

これを解くと $x = -3, y = 2$ となり、$\mathbf{v}_{90} = -3\mathbf{a} + 2\mathbf{b}$ を得る。

同様にしてすべてのベクトルを計算（または図形的な対称性を利用）すると、12個のベクトルは次のように表される。

$0^\circ$ （長さ $1$）: $\mathbf{a}$
$30^\circ$ （長さ $\sqrt{3}$）: $\mathbf{b}$
$60^\circ$ （長さ $1$）: $-\mathbf{a} + \mathbf{b}$
$90^\circ$ （長さ $\sqrt{3}$）: $-3\mathbf{a} + 2\mathbf{b}$
$120^\circ$ （長さ $1$）: $-2\mathbf{a} + \mathbf{b}$
$150^\circ$ （長さ $\sqrt{3}$）: $-3\mathbf{a} + \mathbf{b}$
$180^\circ$ （長さ $1$）: $-\mathbf{a}$
$210^\circ$ （長さ $\sqrt{3}$）: $-\mathbf{b}$
$240^\circ$ （長さ $1$）: $\mathbf{a} - \mathbf{b}$
$270^\circ$ （長さ $\sqrt{3}$）: $3\mathbf{a} - 2\mathbf{b}$
$300^\circ$ （長さ $1$）: $2\mathbf{a} - \mathbf{b}$
$330^\circ$ （長さ $\sqrt{3}$）: $3\mathbf{a} - \mathbf{b}$

これらの図示については、解答用紙上に原点を始点として上記12個のベクトルを矢印で描く。図の形状としては、長さが $|\mathbf{a}|$ の短いベクトル6本が正六角形の頂点方向を指し、長さが $\sqrt{3}|\mathbf{a}|$ の長いベクトル6本が、その正六角形を $30^\circ$ 回転して拡大したもう一つの正六角形の頂点方向を指す、星型の放射状の図形となる。

解説

本問は代数学における「ルート系」と呼ばれる概念、特に「 $G_2$ 型ルート系」を平面ベクトルに落とし込んだ背景を持っています。 (i) において、条件式とその対称式を掛け合わせて $\cos^2\theta$ の値を絞り込む手法は、整数問題における不定方程式の解法としても非常に重要です。 (iii) では、(ii) で求めた長さの比をもとに、幾何的な対称性を保ちながら具体的にベクトルを構成していく力が問われています。内積の計算に還元して未知の係数を決定すれば、論理の飛躍なく確実に正解へたどり着けます。

答え

(i)

題意の条件を $m, n$ （整数）を用いて立式し、$mn = 4\cos^2\theta$ となることから $0 \le mn \le 4$ を得て、$0^\circ, 30^\circ, 45^\circ, 60^\circ, 90^\circ$ およびその補角であることが示された。

(ii)

$0^\circ$ の場合： $1:1$ または $1:2$
$30^\circ$ の場合： $1:\sqrt{3}$
$60^\circ$ の場合： $1:1$

(iii)

図示する12個のベクトルは以下の通り。（ $|\mathbf{a}| < |\mathbf{b}|$ とし、反時計回りに角度を追った例） $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$, $-\mathbf{a} + \mathbf{b}$, $-3\mathbf{a} + 2\mathbf{b}$, $-2\mathbf{a} + \mathbf{b}$, $-3\mathbf{a} + \mathbf{b}$, $-\mathbf{a}$, $-\mathbf{b}$, $\mathbf{a} - \mathbf{b}$, $3\mathbf{a} - 2\mathbf{b}$, $2\mathbf{a} - \mathbf{b}$, $3\mathbf{a} - \mathbf{b}$ （図の形状：原点から放射状に伸びる12本のベクトルで、短い6本が正六角形を、長い6本が30度ずれた大きな正六角形をなすように描く）