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京都大学 1977年文系第6問解説

方針・初手

(i) は、線分の長さの2乗の差を考えるのが定石です。中線定理（パップスの定理）を活用すると簡潔に比較できます。また、ベクトルや座標を用いて代数的に計算して大小を比較する手法も極めて有効です。 (ii) は、底辺が等しい3つの三角形の面積が等しいことを利用し、面積の公式から $\sin$ の値を比較する方針が立てやすいです。ただし、$\sin$ の大小から角の大小を結論づける際、「角が鈍角にならないか」の吟味が必要になる点に注意して論証を進めます。

解法1（初等幾何を用いた解法）

(i)

$\triangle ABN$ において、$M$ は辺 $BN$ の中点であるから、中線定理より

$$AB^2 + AN^2 = 2(AM^2 + BM^2) \quad \cdots ①$$

$\triangle ACM$ において、$N$ は辺 $MC$ の中点であるから、中線定理より

$$AC^2 + AM^2 = 2(AN^2 + CN^2) \quad \cdots ②$$

条件より $BM = MN = NC$ であるから $BM^2 = CN^2$ である。①から②を辺々引くと、

$$AB^2 - AC^2 + AN^2 - AM^2 = 2(AM^2 - AN^2)$$

$$3(AM^2 - AN^2) = AB^2 - AC^2$$

ここで、条件 $AB > AC$ より $AB^2 - AC^2 > 0$ であるから、

$$3(AM^2 - AN^2) > 0$$

よって $AM^2 > AN^2$ となり、$AM > 0, AN > 0$ であるから

$$AM > AN$$

(ii)

$\triangle ABM, \triangle AMN, \triangle ANC$ は、底辺の長さが等しく（$BM=MN=NC$）、高さが共通であるため、面積はすべて等しい。この面積を $S$ とおくと、

$$S = \frac{1}{2} AB \cdot AM \sin \angle BAM$$

$$S = \frac{1}{2} AC \cdot AN \sin \angle CAN$$

これらを変形して、

$$\sin \angle BAM = \frac{2S}{AB \cdot AM}, \quad \sin \angle CAN = \frac{2S}{AC \cdot AN}$$

$AB > AC$ かつ (i) より $AM > AN$ であるから、$AB \cdot AM > AC \cdot AN$ が成り立つ。したがって、

$$\frac{2S}{AB \cdot AM} < \frac{2S}{AC \cdot AN}$$

$$\sin \angle BAM < \sin \angle CAN \quad \cdots ③$$

次に $\angle BAM$ の大きさを評価する。 $\triangle ABC$ における三角不等式より $BC < AB + AC$ が成り立つ。$AB > AC$ より、

$$BC < AB + AB = 2AB$$

仮に $\angle BAM \ge 90^\circ$ とすると、$\triangle ABM$ の内角の中で $\angle BAM$ が最大の角となるため、その対辺 $BM$ が最大辺となる。すなわち $BM > AB$ である。すると、$BC = 3BM > 3AB$ となり、これは $BC < 2AB$ に矛盾する。ゆえに、$\angle BAM < 90^\circ$（鋭角）である。

$\angle BAM$ が鋭角であり、③が成り立つことから、$\angle CAN$ が鋭角・直角・鈍角のいずれであっても、$\angle BAM < \angle CAN$ は必ず成り立つ。

解法2（ベクトルを用いた解法）

$\vec{b} = \vec{AB}, \vec{c} = \vec{AC}$ とおく。条件 $AB > AC$ より $|\vec{b}| > |\vec{c}|$ である。 $M, N$ は辺 $BC$ を3等分する点であるから、

$$\vec{AM} = \frac{2\vec{b} + \vec{c}}{3}, \quad \vec{AN} = \frac{\vec{b} + 2\vec{c}}{3}$$

(i)

$|\vec{AM}|^2$ と $|\vec{AN}|^2$ の差を計算する。

$$\begin{aligned} |\vec{AM}|^2 - |\vec{AN}|^2 &= \frac{1}{9} |2\vec{b} + \vec{c}|^2 - \frac{1}{9} |\vec{b} + 2\vec{c}|^2 \\ &= \frac{1}{9} (4|\vec{b}|^2 + 4\vec{b}\cdot\vec{c} + |\vec{c}|^2) - \frac{1}{9} (|\vec{b}|^2 + 4\vec{b}\cdot\vec{c} + 4|\vec{c}|^2) \\ &= \frac{3}{9} (|\vec{b}|^2 - |\vec{c}|^2) \\ &= \frac{1}{3} (|\vec{b}|^2 - |\vec{c}|^2) \end{aligned}$$

$|\vec{b}| > |\vec{c}|$ より $|\vec{b}|^2 - |\vec{c}|^2 > 0$ であるから、$|\vec{AM}|^2 > |\vec{AN}|^2$ が成り立つ。したがって、$AM > 0, AN > 0$ より $AM > AN$ である。

(ii)

面積を利用して $\sin \angle BAM < \sin \angle CAN$ を導く過程は解法1と同様である。ここでは内積を用いて $\angle BAM$ が鋭角であることを示す。

$$\begin{aligned} \vec{b} \cdot \vec{AM} &= \vec{b} \cdot \frac{2\vec{b} + \vec{c}}{3} \\ &= \frac{2|\vec{b}|^2 + \vec{b}\cdot\vec{c}}{3} \end{aligned}$$

$\triangle ABC$ の内角 $\angle BAC$ は $180^\circ$ 未満であるため、内積について $\vec{b}\cdot\vec{c} = |\vec{b}||\vec{c}|\cos \angle BAC > -|\vec{b}||\vec{c}|$ が成り立つ。よって、

$$2|\vec{b}|^2 + \vec{b}\cdot\vec{c} > 2|\vec{b}|^2 - |\vec{b}||\vec{c}| = |\vec{b}|(2|\vec{b}| - |\vec{c}|)$$

$|\vec{b}| > |\vec{c}|$ より $2|\vec{b}| - |\vec{c}| > |\vec{b}| > 0$ であり、

$$\vec{b} \cdot \vec{AM} > 0$$

内積が正であることから $\cos \angle BAM > 0$ となり、$\angle BAM$ は鋭角である。これと $\sin \angle BAM < \sin \angle CAN$ より、$\angle BAM < \angle CAN$ が成り立つ。

解法3（座標平面を用いた解法）

直線 $BC$ を $x$ 軸にとり、点 $A$ から直線 $BC$ に下ろした垂線の足を原点 $O(0,0)$ にとる。 $A(0, h)$ ($h > 0$)、$B(b, 0)$、$C(c, 0)$ とおく。条件 $AB > AC$ より、

$$b^2 + h^2 > c^2 + h^2 \implies b^2 > c^2 \implies |b| > |c|$$

$B, M, N, C$ はこの順に並ぶので $b < c$ として一般性を失わない。 $b < c$ かつ $|b| > |c|$ を満たすことから、$b < 0$ かつ $b < -|c| \le -c$ であり、

$$b + c < 0$$

が成り立つ。 $M, N$ は $BC$ の三等分点なので、その $x$ 座標をそれぞれ $m, n$ とすると、

$$m = \frac{2b+c}{3}, \quad n = \frac{b+2c}{3}$$

(i)

$$\begin{aligned} AM^2 - AN^2 &= (m^2 + h^2) - (n^2 + h^2) \\ &= m^2 - n^2 \\ &= (m - n)(m + n) \end{aligned}$$

ここで、$m - n = \frac{b-c}{3} < 0$ であり、$m + n = b + c < 0$ であるから、

$$AM^2 - AN^2 > 0$$

したがって、$AM > 0, AN > 0$ より $AM > AN$ である。

(ii)

解法1と同様に $\sin \angle BAM < \sin \angle CAN$ を導く。余弦定理を用いて $\angle BAM$ が鋭角であることを示す。$\triangle ABM$ において、

$$\cos \angle BAM = \frac{AB^2 + AM^2 - BM^2}{2AB \cdot AM}$$

$BM = \frac{c - b}{3} = m - b$ であるから、分子は

$$\begin{aligned} AB^2 + AM^2 - BM^2 &= (b^2 + h^2) + (m^2 + h^2) - (m - b)^2 \\ &= b^2 + m^2 + 2h^2 - (m^2 - 2bm + b^2) \\ &= 2h^2 + 2bm \end{aligned}$$

$b < 0$ であり、$m = \frac{2b+c}{3} = \frac{b + (b+c)}{3} < 0$ であるから $bm > 0$ である。よって $2h^2 + 2bm > 0$ となり、$\cos \angle BAM > 0$ である。 $\angle BAM$ が鋭角であることと $\sin \angle BAM < \sin \angle CAN$ より、$\angle BAM < \angle CAN$ である。

解説

三角形の辺や角の大小関係を比較する問題です。 (i) は、長さを比較するために「2乗の差」を考えるのが定石です。解法1のように中線定理を活用すると計算量が減りますが、ベクトルや座標を設定して機械的に処理する解法2・3のアプローチも、試験本番では汎用性が高く確実な得点源になります。 (ii) は、3つの三角形の面積が等しいことを利用して $\sin$ の大小を比較するアイデアが極めて有効です。ただし、$\sin$ の値の大小から角の大小を結論づける際、「角度が鋭角か鈍角か」の吟味を怠ると論理の飛躍になり減点対象となります。「小さい方の角が鋭角である」ことさえ示せば、大きい方の角の鋭鈍にかかわらず大小関係が確定します。この論法は難関大の記述試験で頻出であるため、マスターしておきましょう。