京都大学 1976年 文系 第3問 解説

方針・初手

等式に定積分が含まれているため、そのまま多項式 $f(x)$ の次数を文字でおいて両辺の次数を比較する方法と、両辺を $x$ で微分して微分の関係式に帰着させる方法が考えられます。いずれの方法を選択する場合でも、まずは $f(x)$ の次数を特定することが解決への第一歩となります。

解法1

多項式 $f(x)$ の次数を $n$（$n \ge 0$ の整数）とする。 与えられた等式を以下とおく。

$$ f(x)f'(x) + \int_{1}^{x} f(t)dt = \frac{4}{9}x - \frac{4}{9} \quad \cdots (1) $$

$n=0$ のとき、$f(x)$ は定数であるから $f(x) = c$ とおく。このとき $f'(x) = 0$ となる。 これを (1) に代入すると、

$$ c \cdot 0 + \int_{1}^{x} c dt = c(x-1) = cx - c $$

これが右辺と恒等的に等しいため、係数を比較して $c = \frac{4}{9}$ を得る。 したがって、$f(x) = \frac{4}{9}$ は条件を満たす。

$n \ge 1$ のとき、$f(x)$ の最高次の項を $ax^n$（$a \neq 0$）とおく。 $f(x)f'(x)$ の最高次の項は $(ax^n)(anx^{n-1}) = a^2nx^{2n-1}$ となる。 $\int_{1}^{x} f(t)dt$ の最高次の項は $\frac{a}{n+1}x^{n+1}$ となる。 (1) の左辺の最高次数を調べるため、$2n-1$ と $n+1$ の大小を比較する。

(i)

$2n-1 > n+1$ すなわち $n \ge 3$ のとき 左辺の最高次数は $2n-1$ となり、$2n-1 \ge 5$ である。しかし右辺は1次式であるため、不適。

(ii)

$2n-1 < n+1$ すなわち $n = 1$ のとき 左辺の最高次数は $n+1 = 2$ となるが、右辺は1次式であるため、不適。

(iii)

$2n-1 = n+1$ すなわち $n = 2$ のとき このとき左辺は3次式となる可能性があるが、3次の項の係数が $0$ になれば、右辺の1次式と等しくなり得る。 左辺の3次の項の係数は $a^2 \cdot 2 + \frac{a}{3}$ であるから、これが $0$ になる。

$$ 2a^2 + \frac{a}{3} = 0 $$

$a \neq 0$ より、$a = -\frac{1}{6}$ と定まる。 そこで、$f(x) = -\frac{1}{6}x^2 + bx + c$ とおく。

$$ f'(x) = -\frac{1}{3}x + b $$

$$ f(x)f'(x) = \left( -\frac{1}{6}x^2 + bx + c \right) \left( -\frac{1}{3}x + b \right) = \frac{1}{18}x^3 - \frac{b}{2}x^2 + \left( b^2 - \frac{c}{3} \right)x + bc $$

$$ \int_{1}^{x} f(t)dt = \left[ -\frac{1}{18}t^3 + \frac{b}{2}t^2 + ct \right]_1^x = -\frac{1}{18}x^3 + \frac{b}{2}x^2 + cx - \left( -\frac{1}{18} + \frac{b}{2} + c \right) $$

これらを足し合わせると、3次および2次の項はうまく消去され、左辺は以下のようになる。

$$ f(x)f'(x) + \int_{1}^{x} f(t)dt = \left( b^2 + \frac{2}{3}c \right)x + bc - \frac{b}{2} - c + \frac{1}{18} $$

これが (1) の右辺 $\frac{4}{9}x - \frac{4}{9}$ と恒等的に等しくなるための条件は、以下の連立方程式が成り立つことである。

$$ \begin{cases} b^2 + \frac{2}{3}c = \frac{4}{9} & \cdots (2) \\ bc - \frac{b}{2} - c + \frac{1}{18} = -\frac{4}{9} & \cdots (3) \end{cases} $$

(3) を整理すると、

$$ bc - \frac{1}{2}b - c + \frac{1}{2} = 0 $$

$$ b \left( c - \frac{1}{2} \right) - \left( c - \frac{1}{2} \right) = 0 $$

$$ (b - 1) \left( c - \frac{1}{2} \right) = 0 $$

よって、$b = 1$ または $c = \frac{1}{2}$ である。

(ア)

$b = 1$ のとき (2) に代入すると $1 + \frac{2}{3}c = \frac{4}{9}$ より $\frac{2}{3}c = -\frac{5}{9}$ となり、$c = -\frac{5}{6}$ を得る。 このとき $f(x) = -\frac{1}{6}x^2 + x - \frac{5}{6}$ である。

(イ)

$c = \frac{1}{2}$ のとき (2) に代入すると $b^2 + \frac{1}{3} = \frac{4}{9}$ より $b^2 = \frac{1}{9}$ となり、$b = \pm\frac{1}{3}$ を得る。 このとき $f(x) = -\frac{1}{6}x^2 \pm \frac{1}{3}x + \frac{1}{2}$ である。

解法2

等式 (1) の両辺を $x$ で微分すると、積の微分法より

$$ (f'(x))^2 + f(x)f''(x) + f(x) = \frac{4}{9} \quad \cdots (4) $$

また、(1) の両辺に $x=1$ を代入すると、積分区間が $1$ から $1$ となり積分の値が $0$ になるため、

$$ f(1)f'(1) = 0 \quad \cdots (5) $$

を得る。(1) を満たす多項式 $f(x)$ は、(4) および (5) を両方満たす関数と同値である。 解法1と同様に $f(x)$ の次数を $n$ とする。 $n=0$ のとき $f(x) = c$ とすると、(4) より $c = \frac{4}{9}$ となり、(5) も満たす。

$n \ge 1$ のとき $f(x)$ の最高次項を $ax^n$（$a \neq 0$）とおき、(4) の左辺の最高次数を比較する。 $(f'(x))^2 + f(x)f''(x)$ の最高次項は、

$$ (anx^{n-1})^2 + (ax^n) \cdot an(n-1)x^{n-2} = a^2n(2n-1)x^{2n-2} $$

これが $f(x)$ の次数 $n$ と一致しなければ (4) は恒等式になり得ないため、$2n-2 = n$ すなわち $n=2$ とわかる。 （$2n-2 > n$ のとき左辺は定数にならないため不適）

$n=2$ のとき、最高次の $x^2$ の係数は $a^2 \cdot 2 \cdot 3 + a = 6a^2 + a$ であり、これが右辺の $x^2$ の係数 $0$ と等しくなるため $6a^2 + a = 0$、よって $a = -\frac{1}{6}$ となる。 $f(x) = -\frac{1}{6}x^2 + bx + c$ とおき、(4) に代入して整理すると、

$$ \left( -\frac{1}{3}x + b \right)^2 - \frac{1}{3} \left( -\frac{1}{6}x^2 + bx + c \right) + \left( -\frac{1}{6}x^2 + bx + c \right) = \frac{4}{9} $$

$$ \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{18} - \frac{1}{6} \right)x^2 + \left( -\frac{2}{3}b - \frac{1}{3}b + b \right)x + b^2 - \frac{1}{3}c + c = \frac{4}{9} $$

$x^2$ と $x$ の係数はそれぞれ $0$ となり消去され、定数項の比較から以下を得る。

$$ b^2 + \frac{2}{3}c = \frac{4}{9} \quad \cdots (6) $$

また、条件 (5) より $f(1) = 0$ または $f'(1) = 0$ が成り立つ。 $f(1) = -\frac{1}{6} + b + c$、$f'(1) = -\frac{1}{3} + b$ であるから、

$$ b = \frac{1}{3} \quad \text{または} \quad c = -b + \frac{1}{6} $$

(i)

$b = \frac{1}{3}$ のとき (6) に代入して $c = \frac{1}{2}$。

(ii)

$c = -b + \frac{1}{6}$ のとき (6) に代入すると $b^2 + \frac{2}{3} \left( -b + \frac{1}{6} \right) = \frac{4}{9}$ となり、整理すると $3b^2 - 2b - 1 = 0$ となる。 これを解いて $b = 1, -\frac{1}{3}$。 それぞれ対応する $c$ を求めると、$(b, c) = (1, -\frac{5}{6}), \left(-\frac{1}{3}, \frac{1}{2}\right)$ となる。

これらから得られる関数はいずれも条件を満たす。

解説

関数方程式において未知の多項式を求める問題では、最初に「関数の次数と最高次項の係数」を決定することが定石です。 定積分が含まれている方程式は、そのまま計算を進める解法（解法1）と、両辺を微分して微分方程式へと帰着させる解法（解法2）の大きく2つのアプローチがあります。微分すると定数項の情報が失われるため、解法2のように積分区間の端点である $x=1$ を代入した条件を忘れずに拾うことが重要です。

答え

$$ f(x) = \frac{4}{9}, \quad -\frac{1}{6}x^2 + \frac{1}{3}x + \frac{1}{2}, \quad -\frac{1}{6}x^2 - \frac{1}{3}x + \frac{1}{2}, \quad -\frac{1}{6}x^2 + x - \frac{5}{6} $$