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京都大学 1973年文系第4問解説

方針・初手

平面上の3つの単位ベクトルが互いに $120^\circ$ の角をなすという条件から、これらが正三角形をなすように配置されること、すなわち $\mathbf{a} + \mathbf{b} + \mathbf{c} = \mathbf{0}$ が成り立つことを見抜くのが第一歩である。

（i）はこの性質を利用するか、または座標や成分を設定して直接計算することで示せる。

（ii）については、ベクトル $\mathbf{x}$ を適切に設定して計算を進める。平面上のベクトルであることを活かし、直交座標系を導入して成分で表す方法や、ベクトル $\mathbf{a}$ と $\mathbf{x}$ のなす角を文字で置いて三角関数を利用する方法などが考えられる。

解法1

座標平面を設定し、ベクトルの成分を用いて計算する。

$\mathbf{a}$ を $x$ 軸の正の向きと一致するように座標軸をとると、$\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$ は単位ベクトルであり、どの二つも $120^\circ$ の角をなすことから、それぞれの成分は次のように表せる。

$$ \mathbf{a} = (1, 0) $$

$$ \mathbf{b} = \left( \cos 120^\circ, \sin 120^\circ \right) = \left( -\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} \right) $$

$$ \mathbf{c} = \left( \cos 240^\circ, \sin 240^\circ \right) = \left( -\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) $$

任意のベクトル $\mathbf{x}$ を $\mathbf{x} = (X, Y)$ とおく。また、$\mathbf{x}$ の大きさは $l$ であるから、以下の関係が成り立つ。

$$ l^2 = X^2 + Y^2 $$

(i)

それぞれの内積を成分で計算する。

$$ (\mathbf{a}, \mathbf{x}) = 1 \cdot X + 0 \cdot Y = X $$

$$ (\mathbf{b}, \mathbf{x}) = -\frac{1}{2}X + \frac{\sqrt{3}}{2}Y $$

$$ (\mathbf{c}, \mathbf{x}) = -\frac{1}{2}X - \frac{\sqrt{3}}{2}Y $$

これらの和をとる。

$$ \begin{aligned} (\mathbf{a}, \mathbf{x}) + (\mathbf{b}, \mathbf{x}) + (\mathbf{c}, \mathbf{x}) &= X + \left( -\frac{1}{2}X + \frac{\sqrt{3}}{2}Y \right) + \left( -\frac{1}{2}X - \frac{\sqrt{3}}{2}Y \right) \\ &= \left( 1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \right)X + \left( \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \right)Y \\ &= 0 \end{aligned} $$

したがって、$(\mathbf{a}, \mathbf{x}) + (\mathbf{b}, \mathbf{x}) + (\mathbf{c}, \mathbf{x}) = 0$ が成り立つことが示された。

(ii)

（i）で求めた内積をそれぞれ2乗して加える。

$$ \begin{aligned} (\mathbf{a}, \mathbf{x})^2 + (\mathbf{b}, \mathbf{x})^2 + (\mathbf{c}, \mathbf{x})^2 &= X^2 + \left( -\frac{1}{2}X + \frac{\sqrt{3}}{2}Y \right)^2 + \left( -\frac{1}{2}X - \frac{\sqrt{3}}{2}Y \right)^2 \\ &= X^2 + \left( \frac{1}{4}X^2 - \frac{\sqrt{3}}{2}XY + \frac{3}{4}Y^2 \right) + \left( \frac{1}{4}X^2 + \frac{\sqrt{3}}{2}XY + \frac{3}{4}Y^2 \right) \\ &= X^2 + 2 \left( \frac{1}{4}X^2 + \frac{3}{4}Y^2 \right) \\ &= X^2 + \frac{1}{2}X^2 + \frac{3}{2}Y^2 \\ &= \frac{3}{2}X^2 + \frac{3}{2}Y^2 \\ &= \frac{3}{2}(X^2 + Y^2) \end{aligned} $$

ここで、$X^2 + Y^2 = l^2$ であるため代入する。

$$ (\mathbf{a}, \mathbf{x})^2 + (\mathbf{b}, \mathbf{x})^2 + (\mathbf{c}, \mathbf{x})^2 = \frac{3}{2}l^2 $$

解法2

ベクトルの幾何学的な性質と、なす角を用いた解法である。

まず、前提条件より $|\mathbf{a}| = |\mathbf{b}| = |\mathbf{c}| = 1$ であり、どの2つのベクトルのなす角も $120^\circ$ である。したがって、内積はすべて等しくなる。

$$ (\mathbf{a}, \mathbf{b}) = (\mathbf{b}, \mathbf{c}) = (\mathbf{c}, \mathbf{a}) = 1 \cdot 1 \cdot \cos 120^\circ = -\frac{1}{2} $$

ベクトル $\mathbf{a} + \mathbf{b} + \mathbf{c}$ の大きさの2乗を計算する。

$$ \begin{aligned} |\mathbf{a} + \mathbf{b} + \mathbf{c}|^2 &= |\mathbf{a}|^2 + |\mathbf{b}|^2 + |\mathbf{c}|^2 + 2(\mathbf{a}, \mathbf{b}) + 2(\mathbf{b}, \mathbf{c}) + 2(\mathbf{c}, \mathbf{a}) \\ &= 1 + 1 + 1 + 2\left(-\frac{1}{2}\right) + 2\left(-\frac{1}{2}\right) + 2\left(-\frac{1}{2}\right) \\ &= 3 - 1 - 1 - 1 \\ &= 0 \end{aligned} $$

これより、$|\mathbf{a} + \mathbf{b} + \mathbf{c}| = 0$ となるため、以下の重要な関係式が得られる。

$$ \mathbf{a} + \mathbf{b} + \mathbf{c} = \mathbf{0} $$

(i)

内積の分配法則を用いる。

$$ \begin{aligned} (\mathbf{a}, \mathbf{x}) + (\mathbf{b}, \mathbf{x}) + (\mathbf{c}, \mathbf{x}) &= (\mathbf{a} + \mathbf{b} + \mathbf{c}, \mathbf{x}) \\ &= (\mathbf{0}, \mathbf{x}) \\ &= 0 \end{aligned} $$

したがって、等式が成り立つことが示された。

(ii)

ベクトル $\mathbf{a}$ と $\mathbf{x}$ のなす角を $\theta$ とする。$\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$ は平面上で互いに $120^\circ$ の角をなすため、$\mathbf{x}$ と $\mathbf{b}$、$\mathbf{x}$ と $\mathbf{c}$ のなす角はそれぞれ $\theta - 120^\circ$、$\theta + 120^\circ$（またはその逆）と表すことができる。また、$\mathbf{x}$ の大きさは $l$、$\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$ の大きさは $1$ である。

これを用いて、各内積を三角関数で表す。

$$ (\mathbf{a}, \mathbf{x}) = l \cos \theta $$

$$ (\mathbf{b}, \mathbf{x}) = l \cos (\theta - 120^\circ) $$

$$ (\mathbf{c}, \mathbf{x}) = l \cos (\theta + 120^\circ) $$

それぞれを2乗して加える。

$$ (\mathbf{a}, \mathbf{x})^2 + (\mathbf{b}, \mathbf{x})^2 + (\mathbf{c}, \mathbf{x})^2 = l^2 \cos^2 \theta + l^2 \cos^2 (\theta - 120^\circ) + l^2 \cos^2 (\theta + 120^\circ) $$

ここで、加法定理を用いて $\cos (\theta \pm 120^\circ)$ を展開する。

$$ \cos (\theta \pm 120^\circ) = \cos \theta \cos 120^\circ \mp \sin \theta \sin 120^\circ = -\frac{1}{2}\cos \theta \mp \frac{\sqrt{3}}{2}\sin \theta $$

これを2乗の和の式に代入して計算する。

$$ \begin{aligned} \cos^2 (\theta - 120^\circ) + \cos^2 (\theta + 120^\circ) &= \left( -\frac{1}{2}\cos \theta + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin \theta \right)^2 + \left( -\frac{1}{2}\cos \theta - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin \theta \right)^2 \\ &= 2 \left( \frac{1}{4}\cos^2 \theta + \frac{3}{4}\sin^2 \theta \right) \\ &= \frac{1}{2}\cos^2 \theta + \frac{3}{2}\sin^2 \theta \end{aligned} $$

したがって、求める値は次のようになる。

$$ \begin{aligned} l^2 \left\{ \cos^2 \theta + \left( \frac{1}{2}\cos^2 \theta + \frac{3}{2}\sin^2 \theta \right) \right\} &= l^2 \left( \frac{3}{2}\cos^2 \theta + \frac{3}{2}\sin^2 \theta \right) \\ &= \frac{3}{2}l^2 (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) \\ &= \frac{3}{2}l^2 \end{aligned} $$

解法3

基底を用いた解法である。

（i）は解法2と同様に $\mathbf{a} + \mathbf{b} + \mathbf{c} = \mathbf{0}$ を導いて示す。

(ii)

$\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ は互いに $120^\circ$ の角をなす単位ベクトルであり、一次独立であるため、平面の基底となる。したがって、任意の平面上のベクトル $\mathbf{x}$ は実数 $s, t$ を用いて次のように一意に表せる。

$$ \mathbf{x} = s\mathbf{a} + t\mathbf{b} $$

$\mathbf{x}$ の大きさ $l$ の2乗を計算する。$(\mathbf{a}, \mathbf{b}) = -1/2$ を用いる。

$$ \begin{aligned} l^2 &= |\mathbf{x}|^2 \\ &= |s\mathbf{a} + t\mathbf{b}|^2 \\ &= s^2|\mathbf{a}|^2 + 2st(\mathbf{a}, \mathbf{b}) + t^2|\mathbf{b}|^2 \\ &= s^2 - st + t^2 \end{aligned} $$

次に、$\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$ と $\mathbf{x}$ の内積をそれぞれ $s, t$ で表す。 $\mathbf{c} = -\mathbf{a} - \mathbf{b}$ であることを利用する。

$$ (\mathbf{a}, \mathbf{x}) = (\mathbf{a}, s\mathbf{a} + t\mathbf{b}) = s|\mathbf{a}|^2 + t(\mathbf{a}, \mathbf{b}) = s - \frac{1}{2}t $$

$$ (\mathbf{b}, \mathbf{x}) = (\mathbf{b}, s\mathbf{a} + t\mathbf{b}) = s(\mathbf{a}, \mathbf{b}) + t|\mathbf{b}|^2 = -\frac{1}{2}s + t $$

（i）より $(\mathbf{a}, \mathbf{x}) + (\mathbf{b}, \mathbf{x}) + (\mathbf{c}, \mathbf{x}) = 0$ であるため、次が成り立つ。

$$ (\mathbf{c}, \mathbf{x}) = -(\mathbf{a}, \mathbf{x}) - (\mathbf{b}, \mathbf{x}) = -\left( s - \frac{1}{2}t \right) - \left( -\frac{1}{2}s + t \right) = -\frac{1}{2}s - \frac{1}{2}t $$

これらを2乗して加える。

$$ \begin{aligned} (\mathbf{a}, \mathbf{x})^2 + (\mathbf{b}, \mathbf{x})^2 + (\mathbf{c}, \mathbf{x})^2 &= \left( s - \frac{1}{2}t \right)^2 + \left( -\frac{1}{2}s + t \right)^2 + \left( -\frac{1}{2}s - \frac{1}{2}t \right)^2 \\ &= \left( s^2 - st + \frac{1}{4}t^2 \right) + \left( \frac{1}{4}s^2 - st + t^2 \right) + \left( \frac{1}{4}s^2 + \frac{1}{2}st + \frac{1}{4}t^2 \right) \\ &= \left( 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \right)s^2 + \left( -1 - 1 + \frac{1}{2} \right)st + \left( \frac{1}{4} + 1 + \frac{1}{4} \right)t^2 \\ &= \frac{3}{2}s^2 - \frac{3}{2}st + \frac{3}{2}t^2 \\ &= \frac{3}{2}(s^2 - st + t^2) \end{aligned} $$

ここで、$l^2 = s^2 - st + t^2$ を代入する。

$$ (\mathbf{a}, \mathbf{x})^2 + (\mathbf{b}, \mathbf{x})^2 + (\mathbf{c}, \mathbf{x})^2 = \frac{3}{2}l^2 $$

解説

平面ベクトルにおいて、大きさの等しい3つのベクトルが互いに $120^\circ$ の角をなすとき、それらの和が $\mathbf{0}$ ベクトルになることは非常によく使われる重要な性質だ。解法2の初手で示した通り、自分自身との内積（大きさの2乗）を計算することで容易に証明できる。

未知のベクトル $\mathbf{x}$ を扱う際のアプローチとして、本問は「座標軸を導入して成分で計算する（解法1）」「図形的な意味を考えてなす角を設定する（解法2）」「基底を用いて文字式として処理する（解法3）」の3通りの典型的な解法がすべて有効に機能する良問だ。計算ミスを防ぎやすい自分に合った解法を選択することが大切だ。