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京都大学 1979年文系第5問解説

方針・初手

$n$ は自然数（正の整数）であるから、$n > 0$ である。与えられた不等式 $\frac{2^n}{n} > n$ の両辺に $n$ を掛けると、

$$ 2^n > n^2 \quad \cdots (*) $$

となる。したがって、不等式 $(*)$ を満たす自然数 $n$ の範囲を求めればよい。まずは小さな自然数 $n$ を代入して実験し、不等式が成立する範囲のあたりをつける。

$n=1$ のとき：$2 > 1$ （成立）
$n=2$ のとき：$4 > 4$ （不成立）
$n=3$ のとき：$8 > 9$ （不成立）
$n=4$ のとき：$16 > 16$ （不成立）
$n=5$ のとき：$32 > 25$ （成立）
$n=6$ のとき：$64 > 36$ （成立）

これより、$n=1$ および $n \geqq 5$ の範囲で不等式が成立すると予想できるため、これを数学的帰納法または二項定理を用いて証明する。

解法1

$n$ は自然数であるから、与式は次のように変形できる。

$$ 2^n > n^2 \quad \cdots (*) $$

まず、$n = 1, 2, 3, 4$ の場合について調べる。

$n=1$ のとき：$2^1 = 2 > 1^2 = 1$ より、成立する。
$n=2$ のとき：$2^2 = 4, 2^2 = 4$ より、成立しない。
$n=3$ のとき：$2^3 = 8 < 3^2 = 9$ より、成立しない。
$n=4$ のとき：$2^4 = 16, 4^2 = 16$ より、成立しない。

次に、$n \geqq 5$ のすべての自然数について、不等式 $(*)$ が成り立つことを数学的帰納法によって示す。

(I)

$n = 5$ のとき (左辺) $= 2^5 = 32$ (右辺) $= 5^2 = 25$ よって、$32 > 25$ となり、$(*)$ は成り立つ。

(II)

$n = k$ （$k \geqq 5$）のとき、$(*)$ が成り立つと仮定する。すなわち、$2^k > k^2$ が成り立つとする。 $n = k+1$ のとき、$(*)$ の左辺と右辺の差を考えると、

$$ 2^{k+1} - (k+1)^2 = 2 \cdot 2^k - (k^2 + 2k + 1) $$

帰納法の仮定 $2^k > k^2$ を用いると、

$$ 2 \cdot 2^k - (k^2 + 2k + 1) > 2k^2 - (k^2 + 2k + 1) = k^2 - 2k - 1 $$

ここで、式を変形すると、

$$ k^2 - 2k - 1 = (k-1)^2 - 2 $$

$k \geqq 5$ であるから、$k-1 \geqq 4$ となり、

$$ (k-1)^2 - 2 \geqq 4^2 - 2 = 14 > 0 $$

したがって、$2^{k+1} - (k+1)^2 > 0$ すなわち $2^{k+1} > (k+1)^2$ となるので、$n = k+1$ のときも $(*)$ は成り立つ。

（I）, （II）より、$n \geqq 5$ のすべての自然数 $n$ について $(*)$ が成り立つことが示された。以上より、求める自然数 $n$ の範囲は $n=1, n \geqq 5$ である。

解法2

解法1と同様に、与式を $2^n > n^2 \cdots (*)$ と変形し、$n=1,2,3,4$ のときの成立・不成立を確かめる（結果は解法1に同じ）。

$n \geqq 5$ のとき、二項定理を用いて $(*)$ が成り立つことを示す。 $2^n = (1+1)^n$ であるから、二項定理より展開すると、

$$ 2^n = {}_n\text{C}_0 + {}_n\text{C}_1 + {}_n\text{C}_2 + {}_n\text{C}_3 + \cdots + {}_n\text{C}_n $$

$n \geqq 5$ より展開式は $6$ 項以上持ち、各項は正であるため、最初の $4$ 項の和よりも大きい。

$$ 2^n > {}_n\text{C}_0 + {}_n\text{C}_1 + {}_n\text{C}_2 + {}_n\text{C}_3 = 1 + n + \frac{n(n-1)}{2} + \frac{n(n-1)(n-2)}{6} $$

この右辺と $(*)$ の右辺 $n^2$ との差をとると、

$$ 1 + n + \frac{n(n-1)}{2} + \frac{n(n-1)(n-2)}{6} - n^2 $$

$$ = \frac{6 + 6n + 3n(n-1) + n(n-1)(n-2) - 6n^2}{6} $$

$$ = \frac{6 + 6n + 3n^2 - 3n + n^3 - 3n^2 + 2n - 6n^2}{6} $$

$$ = \frac{n^3 - 6n^2 + 5n + 6}{6} $$

$$ = \frac{n(n^2 - 6n + 5) + 6}{6} = \frac{n(n-1)(n-5) + 6}{6} $$

$n \geqq 5$ であるから、$n-5 \geqq 0$ であり、$n(n-1)(n-5) \geqq 0$ となる。したがって、

$$ \frac{n(n-1)(n-5) + 6}{6} \geqq \frac{0 + 6}{6} = 1 > 0 $$

よって、$n \geqq 5$ のとき $2^n > n^2$ が成り立つことが示された。以上より、求める範囲は $n=1, n \geqq 5$ である。

解説

指数関数（$2^n$）と多項式（$n^2$）の増大度の違いを比較する典型問題である。十分大きい $n$ においては常に指数関数のほうが急速に大きくなるが、本問のように具体的な境界を求める場合は、「いくつか代入して実験し、推測してから証明する」というプロセスが不可欠である。「すべての自然数」ではなく「ある一定以上の自然数」について帰納法を回す手法は頻出であるため、記述の書き方に慣れておきたい。二項定理を用いた証明も、極限の評価などでよく使われる強力な手法である。