京都大学 1986年 文系 第5問 解説

方針・初手

直接求める事象「$M_n - m_n > 1$」は場合分けが多く複雑になるため、余事象である「$M_n - m_n \leqq 1$」の確率を求めて全体から引く方針をとる。 サイコロの目は整数であるため、$M_n - m_n \leqq 1$ となるのは、$M_n - m_n = 0$ または $M_n - m_n = 1$ の2つのケースに限られる。

解法1

$n$ 個のサイコロを同時に振るとき、目の出方の総数は $6^n$ 通りであり、これらは同様に確からしい。 求める事象「$M_n - m_n > 1$」の余事象は、「$M_n - m_n \leqq 1$」である。 サイコロの目は整数であるから、この余事象は以下の2つの排反な事象に分けられる。

(i)

$M_n - m_n = 0$ となる場合

これは最大値と最小値が等しい、すなわち $n$ 個のサイコロの目がすべて同じになる場合である。 出る目は $1$ から $6$ までの $6$ 通りある。

(ii)

$M_n - m_n = 1$ となる場合

これは最大値と最小値の差が $1$ になる場合であり、出る目が「$k$ と $k+1$」の2種類のみになることを意味する（$k$ は $1 \leqq k \leqq 5$ を満たす整数）。 特定の $k$ について、$n$ 個のサイコロの目が $k$ または $k+1$ のいずれかになる出方は $2^n$ 通りある。 ただし、この中には「すべて $k$ になる場合」の $1$ 通りと、「すべて $k+1$ になる場合」の $1$ 通りが含まれており、これらは (i) のケースに該当するため除外しなければならない。 したがって、特定の $k$ と $k+1$ のちょうど2種類の目が出る出方は

$$ 2^n - 2 \text{ （通り）} $$

である。 $k$ の値は $1, 2, 3, 4, 5$ の $5$ 通り考えられるため、$M_n - m_n = 1$ となる目の出方の総数は

$$ 5(2^n - 2) \text{ （通り）} $$

となる。

(i), (ii) より、余事象 $M_n - m_n \leqq 1$ が起こる場合の数は

$$ 6 + 5(2^n - 2) = 5 \cdot 2^n - 4 \text{ （通り）} $$

であるから、余事象の確率は

$$ \frac{5 \cdot 2^n - 4}{6^n} $$

となる。

したがって、求める確率 $P$ は、全体から余事象の確率を引いて

$$ \begin{aligned} P &= 1 - \frac{5 \cdot 2^n - 4}{6^n} \\ &= \frac{6^n - 5 \cdot 2^n + 4}{6^n} \end{aligned} $$

と求まる。

解説

最大値と最小値の差に関する確率問題では、余事象を考えるのが典型的なアプローチである。 差が $1$ より大きい場合を直接考えようとすると、「差が2」「差が3」「差が4」「差が5」の場合をそれぞれ計算しなくてはならず、計算量が多くなる。一方、余事象である「差が1以下（差が0または1）」であれば、登場する目が1種類または連続する2種類に限られるため、数え上げが非常に容易になる。

「連続する2種類の目が出る」場合の数を求める際に、$2^n$ 通りから「すべて同じ目になる」2通りを引く操作（包除原理の基本的な考え方）は、確率や場合の数の問題で頻出の処理なので確実に押さえておきよう。

答え

$$ \frac{6^n - 5 \cdot 2^n + 4}{6^n} $$