東北大学 2004年 理系 第4問 解説

方針・初手

$p_1=p_6,\ p_2=p_5,\ p_3=p_4$ であるから，

$$ p_1=a,\quad p_2=b,\quad p_3=c $$

とおけば

$$ p_4=c,\quad p_5=b,\quad p_6=a $$

である。さらに確率の和が $1$ なので，

$$ 2(a+b+c)=1 $$

すなわち

$$ a+b+c=\frac12 $$

が成り立つ。

あとは，3回振ったときの出目の和が所定の値になる組を漏れなく数え，順序の違いを並べ方の数で処理すればよい。

解法1

(1) $Q(5)$ を $p_1,p_2$ で表す

3個の出目の和が $5$ になるのは，

• $1,1,3$
• $1,2,2$

の2通りである。

それぞれの並べ方はどちらも $3$ 通りあるから，

$$ Q(5)=3p_1^2p_3+3p_1p_2^2 $$

である。

ここで

$$ p_1+p_2+p_3=\frac12 $$

より

$$ p_3=\frac12-p_1-p_2 $$

だから，

$$ Q(5)=3p_1^2\left(\frac12-p_1-p_2\right)+3p_1p_2^2 $$

となる。展開すれば

$$ Q(5)=\frac32p_1^2-3p_1^3-3p_1^2p_2+3p_1p_2^2 $$

である。

(2) $p_3=\dfrac16$ のときの $Q(7)$ の最大値

$p_3=\dfrac16$ であり，また

$$ p_1+p_2+p_3=\frac12 $$

であるから，

$$ p_1+p_2=\frac13 $$

が成り立つ。

3個の出目の和が $7$ になる組は，

• $1,1,5$
• $1,2,4$
• $1,3,3$
• $2,2,3$

である。

したがって，

$$ Q(7)=3p_1^2p_2+6p_1p_2p_3+3p_1p_3^2+3p_2^2p_3 $$

である。ここに $p_3=\dfrac16$ を代入すると，

$$ Q(7)=3p_1^2p_2+p_1p_2+\frac{p_1}{12}+\frac{p_2^2}{2} $$

となる。

さらに

$$ p_2=\frac13-p_1 $$

を代入すると，

$$ Q(7)=3p_1^2\left(\frac13-p_1\right)+p_1\left(\frac13-p_1\right)+\frac{p_1}{12}+\frac12\left(\frac13-p_1\right)^2 $$

ゆえに

$$ Q(7)=-3p_1^3+\frac12p_1^2+\frac1{12}p_1+\frac1{18} $$

である。

これと $\dfrac{5}{72}$ との差をとると，

$$ Q(7)-\frac{5}{72} =-\frac{(6p_1-1)^2(6p_1+1)}{72} $$

となる。

ここで $0\le p_1\le \dfrac13$ であるから $6p_1+1>0$ であり，

$$ Q(7)-\frac{5}{72}\le 0 $$

である。したがって，

$$ Q(7)\le \frac{5}{72} $$

となり，最大値は

$$ \frac{5}{72} $$

である。

等号成立条件は

$$ (6p_1-1)^2=0 $$

すなわち

$$ p_1=\frac16 $$

である。このとき

$$ p_2=\frac13-p_1=\frac16 $$

となる。

解説

この問題の要点は，条件 $p_1=p_6,\ p_2=p_5,\ p_3=p_4$ によって未知数を $p_1,p_2,p_3$ の3つに減らし，さらに確率の総和から

$$ p_1+p_2+p_3=\frac12 $$

を得ることである。

そのうえで，$Q(n)$ は「和が $n$ になる出目の組」を場合分けして数えればよい。順序の違いを正しく数えることが重要であり，たとえば $1,2,4$ は $6$ 通り，$1,1,5$ は $3$ 通りである。

(2) では $p_3=\dfrac16$ により $p_1+p_2=\dfrac13$ が固定されるので，1変数にして最大値を調べるのが自然である。最後に平方の形へ因数分解できるため，微分を使わずに最大値が確定する。

答え

$$ Q(5)=3p_1^2\left(\frac12-p_1-p_2\right)+3p_1p_2^2 $$

である。

また，$p_3=\dfrac16$ のとき，

$$ Q(7)_{\max}=\frac{5}{72} $$

であり，そのとき

$$ p_1=\frac16,\quad p_2=\frac16 $$

である。