京都大学 2017年 文系 第5問 解説

方針・初手

• 最大値と最小値の条件から、さいころの出る目の範囲を絞り込みます。
• $M - L = k$ となる具体的な $(L,\ M)$ の組を考え、それぞれの組について条件を満たす確率を求めます。
• その際、「すべての目がある範囲に含まれる」確率から、不要な場合（最大値が $M$ より小さくなったり、最小値が $L$ より大きくなったりする場合）を引く、いわゆる包除原理や余事象の考え方を利用します。

解法1

(1)

$X = 1$ となるのは、$M - L = 1$ のときである。

これを満たす $(L,\ M)$ の組は、$(1,\ 2),\ (2,\ 3),\ (3,\ 4),\ (4,\ 5),\ (5,\ 6)$ の 5 通りである。

ある 1 つの組 $(k,\ k+1)$ について、$n$ 回のさいころの目がすべて $k$ または $k+1$ となる確率は $\left(\dfrac{2}{6}\right)^n$ である。

ただし、この中には「$n$ 回すべて $k$ の目が出る場合」と「$n$ 回すべて $k+1$ の目が出る場合」が含まれており、これらは $M = L$ すなわち $X = 0$ となってしまうため除く必要がある。

したがって、特定の $(L,\ M) = (k,\ k+1)$ となる確率は、

$$ \left(\frac{2}{6}\right)^n - \left(\frac{1}{6}\right)^n - \left(\frac{1}{6}\right)^n = \frac{2^n - 2}{6^n} $$

これが 5 通りの $(L,\ M)$ の組それぞれで排反に起こるため、求める確率は、

$$ 5 \times \frac{2^n - 2}{6^n} = \frac{5(2^n - 2)}{6^n} $$

(2)

$X = 5$ となるのは、$M - L = 5$ のとき、すなわち $(L,\ M) = (1,\ 6)$ のときのみである。

これは、「少なくとも 1 回は 1 の目が出て、かつ、少なくとも 1 回は 6 の目が出る」という事象である。

余事象を考える。事象 $A$ を「1 の目が 1 回も出ない」、事象 $B$ を「6 の目が 1 回も出ない」とする。

求める確率は $1 - P(A \cup B)$ である。

$A$ はすべての目が $2, 3, 4, 5, 6$ のいずれかになる事象なので、

$$ P(A) = \left(\frac{5}{6}\right)^n $$

$B$ はすべての目が $1, 2, 3, 4, 5$ のいずれかになる事象なので、

$$ P(B) = \left(\frac{5}{6}\right)^n $$

$A \cap B$ はすべての目が $2, 3, 4, 5$ のいずれかになる（1 も 6 も出ない）事象なので、

$$ P(A \cap B) = \left(\frac{4}{6}\right)^n $$

包除原理より、

$$ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 2 \times \left(\frac{5}{6}\right)^n - \left(\frac{4}{6}\right)^n = \frac{2 \cdot 5^n - 4^n}{6^n} $$

よって、求める確率は、

$$ 1 - \frac{2 \cdot 5^n - 4^n}{6^n} = \frac{6^n - 2 \cdot 5^n + 4^n}{6^n} $$

解説

最大値・最小値に関する確率問題の典型的な解法です。「最大値が $M$ 以下」という事象や「最小値が $L$ 以上」という事象を基に確率を計算し、引き算によって「最大値がちょうど $M$ かつ最小値がちょうど $L$」となる確率を求めます。

(1) は「出る目が 2 種類のみに制限される」場合です。特定の 2 種類の目しか出ない事象から、単一の目になってしまう事象を引くことで求められます。

(2) は「少なくとも〜」の条件が 2 つ重なっているため、事象の和集合 $A \cup B$ を考えるアプローチが有効です。ベン図を用いた包除原理をイメージすると見通しよく計算できます。

答え

(1)

$$ \frac{5(2^n - 2)}{6^n} $$

(2)

$$ \frac{6^n - 2 \cdot 5^n + 4^n}{6^n} $$