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大阪大学 1990年理系第4問解説

方針・初手

袋を選ぶ確率はどれも等しく $\frac{1}{3}$ であることに注意して、全確率の定理から $P$ を立式する。 (2)では $P$ の式が $x_1, x_2, x_3$ の1次式となるため、係数の大小関係に着目してどの変数に優先的に値を割り振るべきかを考える。

解法1

(1)

3つの袋の中から袋 $i$ ($i = 1, 2, 3$) が選ばれる確率は、無作為に選ぶことからそれぞれ $\frac{1}{3}$ である。袋 $i$ が選ばれたとき、その中から取り出された1個の玉が赤玉である確率は、袋 $i$ に入っている玉の総数が $n_i$、赤玉の個数が $x_i$ であるため、$\frac{x_i}{n_i}$ となる。

したがって、求める確率 $P$ は、排反な事象の確率の和として次のように表される。

$$ P = \frac{1}{3} \cdot \frac{x_1}{n_1} + \frac{1}{3} \cdot \frac{x_2}{n_2} + \frac{1}{3} \cdot \frac{x_3}{n_3} = \frac{1}{3} \left( \frac{x_1}{n_1} + \frac{x_2}{n_2} + \frac{x_3}{n_3} \right) $$

(2)

条件 $x_1 + x_2 + x_3 = N$ より $x_3 = N - x_1 - x_2$ である。これを (1) で求めた $P$ の式に代入する。

$$ P = \frac{1}{3} \left\{ \frac{x_1}{n_1} + \frac{x_2}{n_2} + \frac{N - x_1 - x_2}{n_3} \right\} $$

$$ P = \frac{1}{3} \left\{ \left( \frac{1}{n_1} - \frac{1}{n_3} \right) x_1 + \left( \frac{1}{n_2} - \frac{1}{n_3} \right) x_2 + \frac{N}{n_3} \right\} $$

ここで、問題の条件 $1 \leqq n_1 < n_2 < n_3$ より、各変数の係数について以下のことが成り立つ。

$$ \frac{1}{n_1} - \frac{1}{n_3} > \frac{1}{n_2} - \frac{1}{n_3} > 0 $$

$P$ を最大にするには、係数が正でより大きい変数から順に、可能な限り大きな値をとればよい。すなわち、$x_1$, $x_2$ の順に値を最大化する。

まず $x_1$ について考える。与えられた条件 $n_1 < n_2 < n_3$ と $n_1 + n_2 + n_3 = 2N$ より、

$$ 3n_1 < n_1 + n_2 + n_3 = 2N $$

$$ n_1 < \frac{2}{3}N < N $$

が成り立つ。したがって、制約 $0 \leqq x_1 \leqq n_1$ と $x_1 \leqq N$ のもとで $x_1$ を最大にすると、$x_1 = n_1$ とできる。

$x_1 = n_1$ のとき、残りの赤玉の個数は $x_2 + x_3 = N - n_1$ となる。これを $P$ の式に代入し、$x_3$ を消去すると、

$$ P = \frac{1}{3} \left\{ \frac{n_1}{n_1} + \left( \frac{1}{n_2} - \frac{1}{n_3} \right) x_2 + \frac{N - n_1}{n_3} \right\} = \frac{1}{3} \left\{ 1 + \left( \frac{1}{n_2} - \frac{1}{n_3} \right) x_2 + \frac{N - n_1}{n_3} \right\} $$

となる。係数 $\frac{1}{n_2} - \frac{1}{n_3} > 0$ であるため、$P$ を最大にするには $x_2$ を可能な限り大きくすればよい。 $x_2$ は制約 $0 \leqq x_2 \leqq n_2$ および $x_2 \leqq N - n_1$ （$x_3 \geqq 0$ より）を満たすため、最大値は $\min(n_2, N - n_1)$ となる。これによって以下のように場合分けが生じる。

(i)

$N - n_1 \leqq n_2$ （すなわち $N \leqq n_1 + n_2$）のとき

$x_2$ の最大値は $N - n_1$ となる。このとき、$x_3 = (N - n_1) - x_2 = 0$ である。したがって、$P$ を最大にする組は $(x_1, x_2, x_3) = (n_1, N - n_1, 0)$ であり、そのときの $P$ の値は、

$$ P = \frac{1}{3} \left( \frac{n_1}{n_1} + \frac{N - n_1}{n_2} + \frac{0}{n_3} \right) = \frac{1}{3} \left( 1 + \frac{N - n_1}{n_2} \right) $$

(ii)

$N - n_1 > n_2$ （すなわち $N > n_1 + n_2$）のとき

$x_2$ の最大値は $n_2$ となる。このとき、$x_3 = (N - n_1) - x_2 = N - n_1 - n_2$ である。ここで、$x_3 \leqq n_3$ を満たすか確認する。 $n_1 + n_2 + n_3 = 2N$ より $n_3 = 2N - n_1 - n_2$ であるから、

$$ n_3 - x_3 = (2N - n_1 - n_2) - (N - n_1 - n_2) = N > 0 $$

よって $x_3 < n_3$ となり、条件 $0 \leqq x_3 \leqq n_3$ を満たしている。したがって、$P$ を最大にする組は $(x_1, x_2, x_3) = (n_1, n_2, N - n_1 - n_2)$ であり、そのときの $P$ の値は、

$$ P = \frac{1}{3} \left( \frac{n_1}{n_1} + \frac{n_2}{n_2} + \frac{N - n_1 - n_2}{n_3} \right) = \frac{1}{3} \left( 2 + \frac{N - n_1 - n_2}{n_3} \right) $$

解説

複数の変数が絡む1次式の最大化問題である。このような場合は、条件式を用いて変数を減らし、残った変数の係数の大小に着目するのが定石である。本問では、袋の容量が小さい順に赤玉を限界まで詰め込むことが、赤玉を取り出す確率を最大化するための最適な戦略であるという直感的な事実を、数式によって厳密に裏付けている。場合分けの際に $N \leqq n_1 + n_2$ のような条件が自然に導出される点や、$n_1 < N$ が隠れた条件として保証されている点に気付けるかがポイントとなる。