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京都大学 2005年文系第5問解説

方針・初手

袋から3枚の札を取り出し、その番号を小さい順に $a, b, c$ とします。これらが等差数列をなす条件は $2b = a + c$ と表せます。この式から「$a$ と $c$ の偶奇が一致しなければならない」という性質を見抜くことが最初のステップです。

$a$ と $c$ が決まれば $b = \dfrac{a+c}{2}$ はただ一つに定まるため、問題は「1から $n$ までの数の中から、偶奇が一致する2数を選ぶ方法は何通りあるか」という数え上げに帰着します。$n$ に含まれる偶数と奇数の個数は $n$ の偶奇によって変わるため、場合分けして考えます。

解法1

$n$ 枚の札から3枚を選ぶ全事象の数は

$$ {}_n\mathrm{C}_{3} = \frac{n(n-1)(n-2)}{6} \text{ 通り} $$

3枚の番号を小さい順に $a, b, c$ とする。等差数列をなす必要十分条件は $2b = a+c$。$b$ は整数であるから $a+c$ は偶数、すなわち $a$ と $c$ の偶奇は一致する。

逆に、$a$ と $c$ の偶奇が一致する異なる2数 $a < c$ を選べば、$b = \dfrac{a+c}{2}$ がただ1つ定まり $a < b < c$ を満たす。

したがって、等差数列となる選び方の総数は「1から $n$ までの整数のうち偶奇が一致する2数を選ぶ方法の数」に等しい。

(i) $n$ が偶数のとき

$n = 2k$（$k \geqq 2$）とおく。偶数・奇数はそれぞれ $k$ 個ずつある。

$$ \text{総数} = 2 \times {}_k\mathrm{C}_{2} = k(k-1) = \frac{n(n-2)}{4} \text{ 通り} $$

$$ \therefore \text{ 確率} = \frac{n(n-2)}{4} \div \frac{n(n-1)(n-2)}{6} = \frac{3}{2(n-1)} $$

(ii) $n$ が奇数のとき

$n = 2k+1$（$k \geqq 1$）とおく。偶数は $k$ 個、奇数は $k+1$ 個ある。

$$ \text{総数} = {}_k\mathrm{C}_{2} + {}_{k+1}\mathrm{C}_{2} = \frac{k(k-1)}{2} + \frac{(k+1)k}{2} = k^2 = \frac{(n-1)^2}{4} \text{ 通り} $$

$$ \therefore \text{ 確率} = \frac{(n-1)^2}{4} \div \frac{n(n-1)(n-2)}{6} = \frac{3(n-1)}{2n(n-2)} $$

解法2

等差数列の公差を $d \geqq 1$ とし、3つの数を $a, a+d, a+2d$ とする（$a \geqq 1$、$a+2d \leqq n$）。

ある公差 $d$ を固定したとき、$a$ の選び方は $(n-2d)$ 通り。$d$ のとりうる範囲は $1 \leqq d \leqq \left\lfloor\dfrac{n-1}{2}\right\rfloor$。

(i) $n = 2k$ のとき： $d = 1, \ldots, k-1$

$$ \sum_{d=1}^{k-1}(2k-2d) = k(k-1) = \frac{n(n-2)}{4} \implies \text{確率} = \frac{3}{2(n-1)} $$

(ii) $n = 2k+1$ のとき： $d = 1, \ldots, k$

$$ \sum_{d=1}^{k}(2k+1-2d) = k^2 = \frac{(n-1)^2}{4} \implies \text{確率} = \frac{3(n-1)}{2n(n-2)} $$

解説

「3数が等差数列をなす」という条件をどう処理するかが鍵となる問題です。「$a+c = 2b$」から「両端の偶奇が一致する」と言い換える手法は、等差数列の個数を数え上げる際の最も強力な定石です。これにより、真ん中の数 $b$ を気にせず $a, c$ の2つだけを考えればよくなり、計算が劇的にシンプルになります。

$n$ が一般の文字で与えられたときは、具体的に $n=2k, 2k+1$ と置いて計算を進めることで、考え間違いを防ぐことができます。