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京都大学 2005年文系第4問解説

方針・初手

与えられた方程式は $a^3 - b^3 = 65$ です。整数の問題で多項式が定数になる場合、「（式）$\times$（式） $=$ （整数）」の形への因数分解が最も基本的な定石です。$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ と因数分解できるため、$(a-b)$ と $(a^2+ab+b^2)$ が $65$ の約数になることを利用して候補を絞り込みます。

解法1

$a^3 - b^3 = 65$ を因数分解すると、

$$ (a - b)(a^2 + ab + b^2) = 65 \quad \cdots \text{①} $$

$a^2+ab+b^2 = \left(a+\dfrac{b}{2}\right)^2 + \dfrac{3}{4}b^2 \geqq 0$ であり、$a=b=0$ のとき①は成り立たないから $a^2+ab+b^2 > 0$。よって $a-b > 0$ であり、$a-b$ と $a^2+ab+b^2$ はともに正の整数。

$65 = 5 \times 13$ より、組の候補は $(a-b,\ a^2+ab+b^2) = (1, 65), (5, 13), (13, 5), (65, 1)$ の4通り。

$a^2+ab+b^2 = (a-b)^2 + 3ab$ より $3ab = (a^2+ab+b^2) - (a-b)^2$ を計算し、$3$ の倍数にならないケースを除外する。

$(1, 65)$：$3ab = 65 - 1 = 64$。$64$ は $3$ の倍数でないため不適。
$(5, 13)$：$3ab = 13 - 25 = -12$、$ab = -4$。適する（後述）。
$(13, 5)$：$3ab = 5 - 169 = -164$。$-164$ は $3$ の倍数でないため不適。
$(65, 1)$：$ab = -1408$ となるが、$a - b = 65$、$ab = -1408$ より作られる2次方程式の判別式が $65^2 - 4\cdot 1408 = 4225 - 5632 < 0$ であり実数解なし。不適。

(i)

$a - b = 5,\ ab = -4$ のとき

$a, b$ は $t^2 - 5t - 4 = 0$... ではなく、$b = a-5$ を $ab = a(a-5) = -4$ に代入して、

$$ a^2 - 5a + 4 = 0 \implies (a-1)(a-4) = 0 \implies a = 1, 4 $$

$a = 1$ のとき $b = -4$、$a = 4$ のとき $b = -1$。

以上より、求める組は $(a, b) = (1, -4),\ (4, -1)$ である。

解法2

$b < 0$ のとき $c = -b$（$c > 0$）とおくと $a^3 + c^3 = 65$。

$a, c > 0$ かつ $5^3 = 125 > 65$ より $a, c \leqq 4$。$1^3=1, 2^3=8, 3^3=27, 4^3=64$ で和が $65$ になる組は $\{a,c\} = \{1,4\}$ のみ。

$a=1, c=4$ のとき $b=-4$
$a=4, c=1$ のとき $b=-1$

$b \geqq 0$ のとき、$(a-b)(a^2+ab+b^2) = 65$ かつ $a \geqq b+1$ より $a^2+ab+b^2 \geqq 3b^2+3b+1$、よって $3b^2+3b+1 \leqq 65$ から $b \leqq 4$。$b = 0, 1, 2, 3, 4$ のそれぞれについて $a^3 = b^3 + 65$ を確かめると、整数解をもつ $b$ は存在しない。

よって $(a, b) = (1, -4),\ (4, -1)$。