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京都大学 2010年文系第3問（甲）解説

方針・初手

1番目から5番目の数をそれぞれ変数 $a, b, c, d, e$ と置き、与えられた条件を等式として表します。両辺に共通して含まれる「3番目の数（$c$）」を消去することで、残りの4つの数の和に関する条件に帰着させます。全事象の数は $5!$ 通りであるから、条件を満たす並べ方の総数を数え上げることで確率を求めます。

解法1

1番目から5番目に並ぶ数を順に $a, b, c, d, e$ とおく。条件より、$a+b+c = c+d+e$ が成り立つから、両辺から $c$ を引いて

$$ a+b = d+e \quad \cdots① $$

を得る。また、$a, b, c, d, e$ は 1 から 5 までの自然数を重複なく1度ずつ用いたものであるから、その総和は常に 15 である。

$$ a+b+c+d+e = 1+2+3+4+5 = 15 \quad \cdots② $$

①を②に代入すると、$(a+b) + c + (a+b) = 15$ より

$$ 2(a+b) + c = 15 \quad \cdots③ $$

となる。ここで、$a+b$ は整数であるから、$2(a+b)$ は偶数となる。したがって $c$ は奇数でなければならない。$c \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$ であるから、$c = 1, 3, 5$ のいずれかに絞られる。

(i) $c=1$ のとき

③より $2(a+b) = 14 \iff a+b = 7$ となる。残りの数 $\{2, 3, 4, 5\}$ の中から、和が 7 になる2数の組を作ると $\{2, 5\}$ と $\{3, 4\}$ の2組ができる。

よって、$\{a, b\}$ と $\{d, e\}$ への数字の割り当ては、$\{a, b\} = \{2, 5\}, \{d, e\} = \{3, 4\}$ または $\{a, b\} = \{3, 4\}, \{d, e\} = \{2, 5\}$ の2通り。それぞれにおいて、並べる順序（$a$ と $b$ の入れ替え、$d$ と $e$ の入れ替え）が $2! \times 2! = 4$ 通りある。

したがって、$c=1$ となる並べ方は $2 \times 4 = 8$ 通り。

(ii) $c=3$ のとき

③より $2(a+b) = 12 \iff a+b = 6$ となる。残りの数 $\{1, 2, 4, 5\}$ の中から、和が 6 になる2数の組を作ると $\{1, 5\}$ と $\{2, 4\}$ の2組ができる。

(i) と同様に考えて、組の割り当てと並べ方を考慮し、$2 \times (2! \times 2!) = 8$ 通り。

(iii) $c=5$ のとき

③より $2(a+b) = 10 \iff a+b = 5$ となる。残りの数 $\{1, 2, 3, 4\}$ の中から、和が 5 になる2数の組を作ると $\{1, 4\}$ と $\{2, 3\}$ の2組ができる。

(i) と同様に考えて、$2 \times (2! \times 2!) = 8$ 通り。

(i)〜(iii) の各場合は互いに排反であるから、条件を満たす並べ方の総数は

$$ 8 + 8 + 8 = 24 \text{（通り）} $$

1から5までの5つの数の並べ方の総数は $5! = 120$ （通り）であり、これらは同様に確からしい。よって、求める確率は

$$ \frac{24}{120} = \frac{1}{5} $$