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京都大学 1975年理系第5問解説

方針・初手

与えられた $S$ の式を展開・整理し、$S > 0$ の条件から何が言えるかを考えることが第一歩だ。

式を整理すると $S = n - 2 - \sum_{i=1}^n \frac{1}{a_i}$ となり、$S > 0$ という条件は $\sum_{i=1}^n \frac{1}{a_i} < n - 2$ と同値になる。

$S$ を最小にするということは、この条件を満たしつつ $\sum_{i=1}^n \frac{1}{a_i}$ を可能な限り大きくする組を探す問題に帰着する。

(i) は $n=3$ という固定された条件下で、不等式 $2 \le a_1 \le a_2 \le a_3$ による絞り込みを利用して探索する。

(ii) は $n$ の値によって $S$ がとりうる値の範囲（下限）を評価し、(i) で求めた最小値と比較する。

解法1

$S$ の定義式を変形する。

$$ S = \sum_{i=1}^n \left(1 - \frac{1}{a_i}\right) - 2 = n - 2 - \sum_{i=1}^n \frac{1}{a_i} $$

条件 $S > 0$ より、以下の不等式が成り立つ。

$$ \sum_{i=1}^n \frac{1}{a_i} < n - 2 $$

(i) $n=3$ のとき、$S = 1 - \left(\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \frac{1}{a_3}\right)$ となる。 $S > 0$ より、

$$ \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \frac{1}{a_3} < 1 $$

$S$ を最小にするには、上の不等式を満たす範囲で $\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \frac{1}{a_3}$ を最大にすればよい。 $2 \le a_1 \le a_2 \le a_3$ より $\frac{1}{a_1} \ge \frac{1}{a_2} \ge \frac{1}{a_3}$ であるから、

$$ \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \frac{1}{a_3} \le \frac{3}{a_1} $$

これが $1$ に近くなるように、まず $a_1$ が小さい場合から調べる。

$a_1 = 2$ のとき $\frac{1}{2} + \frac{1}{a_2} + \frac{1}{a_3} < 1$ より $\frac{1}{a_2} + \frac{1}{a_3} < \frac{1}{2}$ である。 $a_2 \ge a_1 = 2$ であるが、$a_2 = 2$ とすると $\frac{1}{2} + \frac{1}{a_3} < \frac{1}{2}$ となり不適であるため、$a_2 \ge 3$ が必要である。・$a_2 = 3$ のとき $\frac{1}{3} + \frac{1}{a_3} < \frac{1}{2}$ より $\frac{1}{a_3} < \frac{1}{6}$ となるため、$a_3 \ge 7$ である。 $a_3 = 7$ のとき、和は $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{7} = \frac{41}{42} < 1$ を満たし、このとき $S = 1 - \frac{41}{42} = \frac{1}{42}$ となる。・$a_2 = 4$ のとき $\frac{1}{4} + \frac{1}{a_3} < \frac{1}{2}$ より $\frac{1}{a_3} < \frac{1}{4}$ となるため、$a_3 \ge 5$ である。 $a_3 = 5$ のとき、和は $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} = \frac{19}{20} < 1$ を満たし、このとき $S = 1 - \frac{19}{20} = \frac{1}{20}$ となる。

$a_1 = 3$ のとき $\frac{1}{3} + \frac{1}{a_2} + \frac{1}{a_3} < 1$ より $\frac{1}{a_2} + \frac{1}{a_3} < \frac{2}{3}$ である。 $a_2 \ge 3$ である。・$a_2 = 3$ のとき $\frac{1}{3} + \frac{1}{a_3} < \frac{2}{3}$ より $\frac{1}{a_3} < \frac{1}{3}$ となるため、$a_3 \ge 4$ である。 $a_3 = 4$ のとき、和は $\frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{11}{12} < 1$ を満たし、このとき $S = 1 - \frac{11}{12} = \frac{1}{12}$ となる。

$a_1 \ge 4$ のとき $\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \frac{1}{a_3} \le \frac{3}{4} < 1$ であり、$S \ge 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$ となる。

以上より、$S$ の最小値は $\frac{1}{42} < \frac{1}{20} < \frac{1}{12} < \frac{1}{4}$ の比較から $\frac{1}{42}$ である。これを満たす組は $(a_1, a_2, a_3) = (2, 3, 7)$ である。

(ii) $n$ が自然数全体を動くときの $S$ の最小値を調べる。

(ア)

$n = 1, 2$ のとき各 $i$ について $a_i \ge 2$ より $\frac{1}{a_i} > 0$ であるから、 $n = 1$ のとき $S = -1 - \frac{1}{a_1} < 0$ $n = 2$ のとき $S = - \frac{1}{a_1} - \frac{1}{a_2} < 0$ となり、いずれも $S > 0$ の条件を満たさない。

(イ)

$n \ge 5$ のとき各 $i$ について $a_i \ge 2$ より $\frac{1}{a_i} \le \frac{1}{2}$ であるから、

$$ \sum_{i=1}^n \frac{1}{a_i} \le \frac{n}{2} $$

これより、$S$ の値は以下のように評価できる。

$$ S = n - 2 - \sum_{i=1}^n \frac{1}{a_i} \ge n - 2 - \frac{n}{2} = \frac{n-4}{2} $$

$n \ge 5$ であるから、

$$ S \ge \frac{5-4}{2} = \frac{1}{2} = \frac{21}{42} $$

(ウ)

$n = 4$ のとき $S > 0$ より $\sum_{i=1}^4 \frac{1}{a_i} < 2$ である。 $2 \le a_1 \le a_2 \le a_3 \le a_4$ であるが、$a_1 = a_2 = a_3 = a_4 = 2$ とすると和が $2$ となり不適である。よって $a_4 \ge 3$ が必要となる。このとき、

$$ \sum_{i=1}^4 \frac{1}{a_i} \le \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{11}{6} $$

したがって、$S$ の最小値は以下のように評価できる。

$$ S = 2 - \sum_{i=1}^4 \frac{1}{a_i} \ge 2 - \frac{11}{6} = \frac{1}{6} = \frac{7}{42} $$

(エ)

$n = 3$ のとき (i) より、最小値は $S = \frac{1}{42}$ であり、そのときの組は $(a_1, a_2, a_3) = (2, 3, 7)$ である。

(ア)〜(エ) の結果を比較すると、$\frac{1}{42} < \frac{7}{42} < \frac{21}{42}$ であるため、$n$ を自由に動かした場合でも $S$ が最小になるのは $n=3$ のときである。よって、求める組は $(n, a_1, a_2, a_3) = (3, 2, 3, 7)$ である。

解説

単位分数の和 $\sum \frac{1}{a_i}$ が一定値未満になるようにしながら最大化する、いわゆるエジプト分数の性質に関連した典型的な整数問題だ。

変数が多くて扱いづらく見えるが、大小関係 $a_1 \le a_2 \le \cdots \le a_n$ が与えられているため、「最も厳しい制約を持つ最小の変数（この場合は $a_1$）」から順に値を絞り込んでいく手法が極めて有効だ。

(ii) では、$n$ を大きくすると $S = n - 2 - \sum \frac{1}{a_i}$ の「$n-2$」の部分が大きくなりすぎること、逆に $n$ が小さいと $S>0$ すら満たせなくなることに着目すると、$n=3$ または $n=4$ あたりに最小値の候補があることがわかる。不等式を用いた大雑把な評価で不要な $n$ の範囲を切り捨てることがポイントだ。