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京都大学 1975年理系第4問解説

方針・初手

複数のベクトルの和を扱う際、特定の定点（重心など）を基準に分割して1つにまとめるのが定石だ。$\triangle ABC$ の重心を導入して $\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC}$ を変形し、「定点と円周上の動点の距離の最大値」を求める幾何学的な問題に帰着させる。

解法1

定円の中心を $O$、半径を $r$ とおく。点 $P$ はこの円の周上を動くため、$|\overrightarrow{OP}| = r$ である。また、3点 $A, B, C$ を頂点とする $\triangle ABC$ の重心を $G$ とおく。円の中心 $O$ を始点として位置ベクトルを考えると、重心 $G$ の位置ベクトル $\overrightarrow{OG}$ は次のように表される。

$$ \overrightarrow{OG} = \frac{\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}}{3} $$

これを用いると、与えられたベクトルの和は次のように変形できる。

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC} &= (\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OP}) + (\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OP}) + (\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OP}) \\ &= \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} - 3\overrightarrow{OP} \\ &= 3\overrightarrow{OG} - 3\overrightarrow{OP} \\ &= 3(\overrightarrow{OG} - \overrightarrow{OP}) \\ &= 3\overrightarrow{PG} \end{aligned} $$

したがって、求めるベクトルの大きさは次のように表される。

$$ |\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC}| = |3\overrightarrow{PG}| = 3|\overrightarrow{PG}| $$

点 $A, B, C$ は定点であるため、その重心 $G$ も定点である。ゆえに、$|\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC}|$ が最大になるのは、線分 $PG$ の長さが最大になるときである。

（i）円の中心 $O$ と重心 $G$ が異なる点である場合

ベクトル $\overrightarrow{PG}$ の大きさを考えると、次のように表せる。

$$ |\overrightarrow{PG}| = |\overrightarrow{OG} - \overrightarrow{OP}| $$

三角不等式により、次の関係が成り立つ。

$$ |\overrightarrow{OG} - \overrightarrow{OP}| \le |\overrightarrow{OG}| + |-\overrightarrow{OP}| = |\overrightarrow{OG}| + r $$

等号が成立するのは、ベクトル $-\overrightarrow{OP}$ と $\overrightarrow{OG}$ が同じ向きのとき、すなわち $\overrightarrow{OP}$ と $\overrightarrow{OG}$ が逆向きのときである。このとき、点 $P$ は直線 $OG$ と円の交点のうち、点 $G$ から遠い方の点（線分 $PG$ 上に点 $O$ が存在する位置）である。

（ii）円の中心 $O$ と重心 $G$ が一致する場合

$O = G$ であるから、円周上の任意の点 $P$ について次が成り立つ。

$$ |\overrightarrow{PG}| = |\overrightarrow{OP}| = r $$

これは一定値をとるため、円周上のすべての点 $P$ において $|\overrightarrow{PG}|$ は最大値 $r$ をとる。

解説

ベクトルの和の大きさを考える際、始点が同じになるように分解し、重心の位置ベクトルを利用して1つのベクトルにまとめるのが典型的なアプローチだ。これにより、代数的な計算から「定点 $G$ と円周上の動点 $P$ の距離の最大値」という図形的な考察に帰着できる。また、円の中心と定点（重心）が一致する特殊なケースを見落とさないよう、場合分けを行うことが重要だ。