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京都大学 1975年理系第6問解説

方針・初手

図形の対称性を生かし、座標平面を導入して条件を数式に翻訳する。

$\angle A = 90^\circ$ および $AB=AC$ であることから、頂点 $A$ を原点、半直線 $AH$ を軸に設定すると各辺の方程式が簡潔になる（問題文の距離 $x$ と混同しないよう、$X$ 軸、$Y$ 軸とする）。面積計算では、$F(t)$ の定積分が「半径 $1$ の円から中心からの距離 $t$ の直線で切り取られる弓形の面積」を表すことを読み取るのが鍵だ。

解法1

座標平面において、頂点 $A$ を原点 $(0,0)$ とし、半直線 $AH$ を $X$ 軸の正の向きにとる。 $\triangle ABC$ は $\angle A = 90^\circ$、$AB = AC = 2$ の直角二等辺三角形であるから、$BC = \sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2}$ である。 $AH \perp BC$ より点 $H$ は辺 $BC$ の中点であり、$AH = 2\sqrt{2} \times \frac{1}{2} = \sqrt{2}$ となる。したがって、$H(\sqrt{2}, 0)$ であり、$\triangle ABC$ の各辺の方程式は次のように表せる。

辺 $AB$: 直線 $Y = X$ ($0 \leqq X \leqq \sqrt{2}$)
辺 $AC$: 直線 $Y = -X$ ($0 \leqq X \leqq \sqrt{2}$)
辺 $BC$: 直線 $X = \sqrt{2}$ ($-\sqrt{2} \leqq Y \leqq \sqrt{2}$)

半直線 $AH$ 上にある円 $O$ の中心の座標は $(x, 0)$ ($x > 0$) とおけ、半径は $1$ であるから、円 $O$ の方程式は

$$ (X - x)^2 + Y^2 = 1 $$

となる。

(i) 円 $O$ が $\triangle ABC$ の $3$ つの辺とそれぞれ $2$ 点で交わる条件を求める。

[1] 辺 $AB$ と $2$ 点で交わる条件中心 $O(x, 0)$ から直線 $X - Y = 0$ までの距離 $d_1$ は

$$ d_1 = \frac{|x - 0|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{x}{\sqrt{2}} $$

$2$ 点で交わるためには $d_1 < 1$ が必要であるから、$\frac{x}{\sqrt{2}} < 1$ より $x < \sqrt{2}$ である。さらに、直線 $Y = X$ と円 $O$ の交点が辺 $AB$ 上（$0 \leqq X \leqq \sqrt{2}$）に存在する必要がある。 $Y=X$ を円の方程式に代入して整理すると、

$$ 2X^2 - 2xX + x^2 - 1 = 0 $$

この $X$ についての $2$ 次方程式が $0 < X < \sqrt{2}$ の範囲に異なる $2$ つの実数解をもてばよい。 $f(X) = 2X^2 - 2xX + x^2 - 1$ とおく。軸は $X = \frac{x}{2}$ であり、$0 < x < \sqrt{2}$ のもとで $0 < \frac{x}{2} < \frac{\sqrt{2}}{2} < \sqrt{2}$ は満たされている。判別式を $D$ とすると、$\frac{D}{4} = x^2 - 2(x^2 - 1) = 2 - x^2 > 0$ も $x < \sqrt{2}$ より満たされる。端点の条件として、$f(0) > 0$ かつ $f(\sqrt{2}) > 0$ が必要である。

$$ f(0) = x^2 - 1 > 0 \iff x < -1, \ 1 < x $$

$$ f(\sqrt{2}) = 4 - 2\sqrt{2}x + x^2 - 1 = (x - \sqrt{2})^2 + 1 > 0 $$

$f(\sqrt{2}) > 0$ は常に成り立つため、$x > 0$ と合わせて $1 < x < \sqrt{2}$ となる。対称性より、辺 $AC$ と $2$ 点で交わる条件も全く同じである。

[2] 辺 $BC$ と $2$ 点で交わる条件中心 $O(x, 0)$ から直線 $X = \sqrt{2}$ までの距離 $d_2$ は $|x - \sqrt{2}|$ である。 $2$ 点で交わるためには $d_2 < 1$ が必要であるから、

$$ |x - \sqrt{2}| < 1 \iff \sqrt{2} - 1 < x < \sqrt{2} + 1 $$

このとき交点の $Y$ 座標は $(\sqrt{2} - x)^2 + Y^2 = 1$ より $Y^2 = 1 - (x - \sqrt{2})^2$ である。これが辺 $BC$ 上（$-\sqrt{2} \leqq Y \leqq \sqrt{2}$）にあるためには $Y^2 \leqq 2$ であればよいが、

$$ 1 - (x - \sqrt{2})^2 \leqq 2 \iff (x - \sqrt{2})^2 \ge -1 $$

となり、これは常に成り立つ。よって条件は $\sqrt{2} - 1 < x < \sqrt{2} + 1$ である。

[1], [2] を同時に満たす $x$ の範囲を求める。 $\sqrt{2} - 1 < 1$ であるから、共通部分は

$$ 1 < x < \sqrt{2} $$

となる。

(ii) 与えられた関数 $F(t)$ は

$$ F(t) = 2 \int_t^1 \sqrt{1 - u^2} du \quad (0 \leqq t \leqq 1) $$

であり、これは「半径 $1$ の円を、中心からの距離が $t$ である直線で切ったときにできる $2$ つの部分のうち、小さい方（弓形）の面積」を表している。

$x$ が（i）の範囲にあるとき、各頂点と中心 $O$ の距離の $2$ 乗を考える。

$$ OA^2 = x^2 > 1 $$

$$ OB^2 = OC^2 = (\sqrt{2} - x)^2 + (\pm\sqrt{2})^2 = (x - \sqrt{2})^2 + 2 > 1 $$

各頂点との距離がすべて半径 $1$ より大きいため、頂点 $A, B, C$ はすべて円 $O$ の外部にある。したがって、$\triangle ABC$ と円 $O$ の共通部分の面積 $S$ は、円 $O$ の面積 $\pi$ から、$\triangle ABC$ の外部にはみ出した $3$ つの弓形の面積を引いたものになる。

辺 $AB$（直線 $X - Y = 0$）による弓形：中心からの距離は $\frac{x}{\sqrt{2}}$ であり、面積は $F\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)$。
辺 $AC$（直線 $X + Y = 0$）による弓形：中心からの距離は $\frac{x}{\sqrt{2}}$ であり、面積は $F\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)$。
辺 $BC$（直線 $X = \sqrt{2}$）による弓形：中心からの距離は $\sqrt{2} - x$ であり、面積は $F(\sqrt{2} - x)$。

これら $3$ つの弓形は互いに重ならないため、面積 $S$ は次のように表せる。

$$ S = \pi - 2F\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right) - F(\sqrt{2} - x) $$

(iii) 微積分学の基本定理より、$F(t)$ の導関数は

$$ F'(t) = -2\sqrt{1 - t^2} $$

である。合成関数の微分法を用いて $S$ を $x$ で微分する。

$$ \begin{aligned} \frac{dS}{dx} &= -2 \cdot F'\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right) \cdot \left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)' - F'(\sqrt{2} - x) \cdot (\sqrt{2} - x)' \\ &= -2 \left( -2\sqrt{1 - \frac{x^2}{2}} \right) \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} - \left( -2\sqrt{1 - (\sqrt{2} - x)^2} \right) \cdot (-1) \\ &= 2\sqrt{2}\sqrt{\frac{2 - x^2}{2}} - 2\sqrt{1 - (2 - 2\sqrt{2}x + x^2)} \\ &= 2\sqrt{2 - x^2} - 2\sqrt{-x^2 + 2\sqrt{2}x - 1} \end{aligned} $$

$\frac{dS}{dx} = 0$ とおくと、

$$ 2\sqrt{2 - x^2} = 2\sqrt{-x^2 + 2\sqrt{2}x - 1} $$

両辺ともに根号の中身は正であるため、$2$ 乗して整理する。

$$ 2 - x^2 = -x^2 + 2\sqrt{2}x - 1 $$

$$ 2\sqrt{2}x = 3 \iff x = \frac{3\sqrt{2}}{4} $$

この $x$ の値は $1 < x < \sqrt{2}$ （すなわち $\sqrt{16} < \sqrt{18} < \sqrt{32}$）を満たす。

ここで、$\frac{dS}{dx}$ の符号変化を調べるために根号内の大小を比較する。

$$ (2 - x^2) - (-x^2 + 2\sqrt{2}x - 1) = 3 - 2\sqrt{2}x = 2\sqrt{2} \left( \frac{3\sqrt{2}}{4} - x \right) $$

これより、$1 < x < \frac{3\sqrt{2}}{4}$ のときは $\frac{dS}{dx} > 0$、$\frac{3\sqrt{2}}{4} < x < \sqrt{2}$ のときは $\frac{dS}{dx} < 0$ となる。増減表は以下のようになる。