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京都大学 1983年理系第6問解説

方針・初手

時刻 $t$ における容器内の水の体積を $V$ として、体積の減少速度 $-\frac{dV}{dt}$ が単位時間あたりの流出量に等しいことを用いて微分方程式を立てる。体積 $V$ は水面の高さ $x$ の関数として表せるので、合成関数の微分法により $x$ と $t$ に関する微分方程式を導くことができる。

解法1

時刻 $t$ における水面の高さを $x$ とし、そのときの容器内の水の体積を $V$ とする。容器は頂点が最低点にある直円すいであり、深さ $h$ のとき水面（上面）の半径が $R$ である。水面の高さが $x$ のとき、水面の円の半径を $r$ とすると、相似比から

$$ r : x = R : h \iff r = \frac{R}{h}x $$

となる。このときの水の体積 $V$ は、

$$ V = \frac{1}{3} \pi r^2 x = \frac{1}{3} \pi \left( \frac{R}{h}x \right)^2 x = \frac{\pi R^2}{3h^2} x^3 $$

と表される。これを時刻 $t$ で微分すると、合成関数の微分法により

$$ \frac{dV}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \frac{\pi R^2}{3h^2} x^3 \right) = \frac{\pi R^2}{3h^2} \cdot 3x^2 \cdot \frac{dx}{dt} = \frac{\pi R^2}{h^2} x^2 \frac{dx}{dt} $$

となる。

一方、問題の条件より、時刻 $t$ から $t + \Delta t$ の間に流出する水量を $\Delta Q$ とすると、

$$ \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta Q}{\Delta t} = Sv $$

が成り立つ。流出した水量だけ容器内の水の体積が減少するので、体積の変化量 $\Delta V$ は $\Delta V = -\Delta Q$ と表せる。したがって、両辺を $\Delta t$ で割って $\Delta t \to 0$ の極限をとると、

$$ \frac{dV}{dt} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{-\Delta Q}{\Delta t} = -Sv $$

となる。流出速度は $v = kx$ であるから、

$$ \frac{dV}{dt} = -Skx $$

である。

以上の2つの式から $\frac{dV}{dt}$ を消去し、次の微分方程式を得る。

$$ \frac{\pi R^2}{h^2} x^2 \frac{dx}{dt} = -Skx $$

時刻 $t$ は容器が空になるまで（$x > 0$）の範囲に限定されているため、両辺を $x$ で割ると

$$ \frac{\pi R^2}{h^2} x \frac{dx}{dt} = -Sk $$

$$ x \frac{dx}{dt} = -\frac{Skh^2}{\pi R^2} $$

この変数分離形の微分方程式の両辺を $t$ について積分する。

$$ \int x \frac{dx}{dt} dt = \int \left( -\frac{Skh^2}{\pi R^2} \right) dt $$

$$ \int x dx = -\frac{Skh^2}{\pi R^2} t + C \quad (C \text{ は積分定数}) $$

$$ \frac{1}{2} x^2 = -\frac{Skh^2}{\pi R^2} t + C $$

初期条件として、$t = 0$ のとき容器は上面まで水で満たされているため $x = h$ である。これを代入すると、

$$ \frac{1}{2} h^2 = 0 + C \iff C = \frac{1}{2} h^2 $$

よって、

$$ \frac{1}{2} x^2 = -\frac{Skh^2}{\pi R^2} t + \frac{1}{2} h^2 $$

両辺を $2$ 倍して整理する。

$$ x^2 = h^2 - \frac{2Skh^2}{\pi R^2} t = h^2 \left( 1 - \frac{2Sk}{\pi R^2} t \right) $$

水面の高さは $x > 0$ であるから、正の平方根をとって

$$ x(t) = h \sqrt{ 1 - \frac{2Sk}{\pi R^2} t } $$

を得る。

解説

物理的な変化を微分の言葉で記述し、微分方程式を立てて解く典型的な問題である。「体積の減少速度が単位時間あたりの流出量に等しい（$\frac{dV}{dt} = - \frac{dQ}{dt}$）」という関係式を立式できるかが最大のポイントである。体積を高さ $x$ で表した上で、合成関数の微分 $\frac{dV}{dt} = \frac{dV}{dx} \frac{dx}{dt}$ を用いて $x$ と $t$ の関係式に変換する手順は、水槽の排水問題や球の体積変化の問題などで頻出の考え方なので確実にマスターしておきよう。