名古屋大学 1982年 理系 第3問 解説

方針・初手

対称性を利用して、三角錐の体積を $BP=x$ の関数として立式する。 元の図形における辺 $BC$ の中点 $M$ に着目し、折り曲げ後の立体が平面 $AMB'$ ( $B'$ は点BとCが重なる点 ) を対称面として持つことを見抜くのが第一歩である。 底面を $\triangle APQ$、高さを $B'$ から平面 $APQ$ に下ろした垂線の長さとして体積を計算する方針と、空間座標を導入して高さを求める方針が考えられる。

解法1

$BP = x \ (0 < x < 3)$ とおく。

条件 $BP = QC$ より $QC = x$ であり、$BC = 6$ であるから $PQ = 6 - 2x$ である。 元の $\triangle ABC$ において、Aから辺BCに下ろした垂線の足を $M$ とすると、$AB=5, BM=3$ の直角三角形 $\triangle ABM$ より $AM = \sqrt{5^2-3^2} = 4$ である。 また、$M$ は $PQ$ の中点でもあるため、$PM = QM = 3 - x$ となる。

折り曲げて辺 $AB$ と $AC$ を貼り合わせたとき、BとCが一致した点を $B'$ とする。 できた三角錐は A, $B'$, P, Q を頂点とする。これを、$\triangle APQ$ を底面とする三角錐とみなす。

底面積 $S$ は、

$$ S = \frac{1}{2} \cdot PQ \cdot AM = \frac{1}{2}(6 - 2x) \cdot 4 = 4(3 - x) $$

次に高さを求める。対称性により、立体は平面 $AB'M$ に関して対称であり、平面 $AB'M$ と平面 $APQ$ は垂直に交わる。 したがって、$B'$ から直線 $AM$ に下ろした垂線 $B'H$ の長さが、この三角錐の高さ $h$ となる。 平面 $AB'M$ をなす $\triangle AB'M$ について、3辺の長さを考える。

• 辺 $AB'$ は元の辺 $AB$ なので $AB' = 5$
• 辺 $AM$ は元の高さなので $AM = 4$
• 辺 $B'M$ は、$\triangle B'PQ$ において $M$ が $PQ$ の中点であることから求める。$\angle B'MP = 90^\circ$ より、$B'M^2 = B'P^2 - PM^2 = x^2 - (3-x)^2 = 6x - 9$

$\triangle AB'M$ に余弦定理を用いると、

$$ \cos \angle B'AM = \frac{AB'^2 + AM^2 - B'M^2}{2 \cdot AB' \cdot AM} = \frac{25 + 16 - (6x - 9)}{2 \cdot 5 \cdot 4} = \frac{50 - 6x}{40} = \frac{25 - 3x}{20} $$

これより $\sin \angle B'AM$ を求めると、

$$ \begin{aligned} \sin^2 \angle B'AM &= 1 - \left( \frac{25 - 3x}{20} \right)^2 \\ &= \frac{400 - (625 - 150x + 9x^2)}{400} \\ &= \frac{-9x^2 + 150x - 225}{400} \\ &= \frac{3(-3x^2 + 50x - 75)}{400} \end{aligned} $$

立体が構成できるための条件は $\sin^2 \angle B'AM > 0$ であり、$-3x^2 + 50x - 75 > 0$ を解くと $\frac{25-20}{3} < x < \frac{25+20}{3}$ より $\frac{5}{3} < x < 15$。問題の条件 $x < 3$ と合わせると、定義域は $\frac{5}{3} < x < 3$ となる。 このとき $\sin \angle B'AM > 0$ より、高さ $h$ は、

$$ h = AB' \sin \angle B'AM = 5 \cdot \frac{\sqrt{3(-3x^2 + 50x - 75)}}{20} = \frac{\sqrt{3(-3x^2 + 50x - 75)}}{4} $$

よって、三角錐の体積 $V$ は、

$$ V = \frac{1}{3} S h = \frac{1}{3} \cdot 4(3 - x) \cdot \frac{\sqrt{3(-3x^2 + 50x - 75)}}{4} = \frac{3 - x}{3} \sqrt{3(-3x^2 + 50x - 75)} $$

$V > 0$ であり、$V$ が最大となるとき $V^2$ も最大となる。

$$ V^2 = \frac{(x - 3)^2}{9} \cdot 3(-3x^2 + 50x - 75) = \frac{1}{3}(x - 3)^2(-3x^2 + 50x - 75) $$

$g(x) = (x - 3)^2(-3x^2 + 50x - 75)$ とおき、微分して増減を調べる。

$$ \begin{aligned} g'(x) &= 2(x - 3)(-3x^2 + 50x - 75) + (x - 3)^2(-6x + 50) \\ &= 2(x - 3) \{ (-3x^2 + 50x - 75) + (x - 3)(-3x + 25) \} \\ &= 2(x - 3) \{ -3x^2 + 50x - 75 - 3x^2 + 34x - 75 \} \\ &= 2(x - 3) (-6x^2 + 84x - 150) \\ &= -12(x - 3) (x^2 - 14x + 25) \end{aligned} $$

$g'(x) = 0$ とすると、$x = 3, 7 \pm 2\sqrt{6}$。 $\frac{5}{3} < x < 3$ における解は、$2\sqrt{6} = \sqrt{24} \approx 4.899$ より $x = 7 - 2\sqrt{6}$ のみである。 増減表は以下のようになる。

したがって、$x = 7 - 2\sqrt{6}$ のとき容積は最大となる。

解法2

$BP = x \ (0 < x < 3)$ とおく。 空間座標を用いて、A, P, Q, $B'$ の座標を設定する。

元の $\triangle ABC$ における辺 $BC$ の中点 $M$ は、組み立て後も線分 $PQ$ の中点であり、直線 $AM$ と直線 $PQ$ は直交している。 そこで、$M$ を原点 $(0,0,0)$ とし、平面 $APQ$ を $xy$ 平面とする。 $A$ は $x$ 軸上にとれ、$AM = 4$ であるから $A(4, 0, 0)$ とする。 $P, Q$ は $y$ 軸上にとれ、$PM = QM = 3 - x$ であるから $P(0, -(3 - x), 0)$、$Q(0, 3 - x, 0)$ とする。

立体は $xz$ 平面に関して対称であるため、BとCが重なった点 $B'$ は $xz$ 平面上にある。よって $B'(u, 0, v)$ とおく。

$AB' = 5$ より、

$$ (u - 4)^2 + v^2 = 25 \quad \cdots \text{①} $$

$B'P = x$ より、

$$ u^2 + (3 - x)^2 + v^2 = x^2 \quad \implies \quad u^2 + v^2 = 6x - 9 \quad \cdots \text{②} $$

①を展開して $u^2 - 8u + 16 + v^2 = 25$ とし、②を代入する。

$$ (6x - 9) - 8u + 16 = 25 \quad \implies \quad 8u = 6x - 18 \quad \implies \quad u = \frac{3(x - 3)}{4} $$

これを②に代入して $v^2$ を求める。

$$ \begin{aligned} v^2 &= (6x - 9) - u^2 \\ &= 3(2x - 3) - \frac{9(x - 3)^2}{16} \\ &= \frac{48(2x - 3) - 9(x^2 - 6x + 9)}{16} \\ &= \frac{-9x^2 + 150x - 225}{16} \end{aligned} $$

立体が存在するためには $v^2 > 0$ であり、定義域は解法1と同様に $\frac{5}{3} < x < 3$ となる。 底面 $\triangle APQ$ の面積 $S$ は、

$$ S = \frac{1}{2} \cdot PQ \cdot AM = \frac{1}{2} \cdot 2(3 - x) \cdot 4 = 4(3 - x) $$

高さ $h$ は $B'$ の $z$ 座標の絶対値 $|v|$ に等しいので、

$$ h = \frac{\sqrt{3(-3x^2 + 50x - 75)}}{4} $$

体積 $V$ は $V = \frac{1}{3} S h$ となり、解法1と同じ式が得られる。 以降の微分の計算と増減の評価は解法1に同じである。

解説

空間図形の計量と、微分を用いた最大値問題の融合問題である。 まずは展開図から、組み立てられた立体の辺の長さや対称性を正確に把握することが重要になる。 本問の最大のポイントは、図形の対称性を利用して「高さ」をいかに簡潔に表すかにある。解法1のように対称面となる $\triangle AB'M$ を抜き出して余弦定理で高さを求める方針は幾何的な王道である。一方、解法2のように対称性を活かして適切に座標軸を設定する手法は、複雑な図形的考察を代数計算に帰着させることができるため非常に強力である。

また、立体が成立するための条件（本問では根号の中身が正になること）を確認し、定義域を明示することも忘れてはならない。極値をとる $x$ が定義域内にあるかの確認は答案の厳密性において必須である。

答え

$BP = 7 - 2\sqrt{6}$