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京都大学 1983年理系第5問解説

方針・初手

点 $P$ は時刻 $t$ において向きを変え、その後 $Q$ に一直線に向かう。時刻 $t$ における $P$ と $Q$ の位置をそれぞれ座標で表し、そこから $P$ が $Q$ に追いつくまでに要する時間を変数 $u$（$u \ge 0$）として設定する。 $P$ が $Q$ に追いつく時刻は $t+u$ であり、この時刻における $Q$ の位置と、時刻 $t$ における $P$ の位置との距離が、速さ $\sqrt{2}$ で $u$ 時間進んだ距離 $\sqrt{2}u$ と等しくなるという方程式を立てる。得られた方程式から「時刻 $t$ から到達する時刻までの時間」である $u$ を最小にする $t$ を微分の考え方を用いて求める。

解法1

時刻 $\tau$ における $Q$ の座標は、速さ $1$ で $y$ 軸の正の向きに進むため $(0, -b + \tau)$ である。点 $P$ は時刻 $t$ まで $x$ 軸上を速さ $1$ で正の向きに進むため、時刻 $t$ における $P$ の座標は $(-a + t, 0)$ である。

時刻 $t$ から $P$ が $Q$ に到達するまでに要する時間を $u$ （$u \ge 0$）とする。到達する時刻は $T = t + u$ であり、このとき $Q$ は $(0, -b + t + u)$ にいる。 $P$ は時刻 $t$ から速さ $\sqrt{2}$ で直進し、時間 $u$ かけてこの位置に到達するため、移動距離は $\sqrt{2}u$ である。したがって、2点間の距離の公式より、

$$ (t - a - 0)^2 + (0 - (-b + t + u))^2 = (\sqrt{2}u)^2 $$

$$ (t - a)^2 + (t - b + u)^2 = 2u^2 $$

これを $u$ について展開・整理する。

$$ (t - a)^2 + (t - b)^2 + 2u(t - b) + u^2 = 2u^2 $$

$$ u^2 - 2(t - b)u - \{ (t - a)^2 + (t - b)^2 \} = 0 $$

$u$ についての2次方程式として解く。$u \ge 0$ であることと、定数項が $0$ 以下であることから、条件を満たす実数解は1つに定まり、

$$ u = (t - b) + \sqrt{(t - b)^2 + (t - a)^2 + (t - b)^2} $$

$$ u = t - b + \sqrt{3t^2 - 2(a + 2b)t + a^2 + 2b^2} $$

この $u$ を $t$ の関数 $u(t)$ とみて微分する。根号の中身は $2(t-b)^2 + (t-a)^2 > 0$ であるため、常に微分可能である。

$$ u'(t) = 1 + \frac{6t - 2(a + 2b)}{2\sqrt{3t^2 - 2(a + 2b)t + a^2 + 2b^2}} = \frac{\sqrt{3t^2 - 2(a + 2b)t + a^2 + 2b^2} + 3t - (a + 2b)}{\sqrt{3t^2 - 2(a + 2b)t + a^2 + 2b^2}} $$

$u'(t) = 0$ となる条件は、

$$ \sqrt{3t^2 - 2(a + 2b)t + a^2 + 2b^2} = (a + 2b) - 3t $$

右辺が $0$ 以上である必要があるので、 $t \le \frac{a + 2b}{3}$ が必要条件である。このもとで両辺を2乗すると、

$$ 3t^2 - 2(a + 2b)t + a^2 + 2b^2 = (a + 2b)^2 - 6(a + 2b)t + 9t^2 $$

$$ 6t^2 - 4(a + 2b)t + (a + 2b)^2 - a^2 - 2b^2 = 0 $$

$$ 6t^2 - 4(a + 2b)t + 2b(2a + b) = 0 $$

$$ 3t^2 - 2(a + 2b)t + b(2a + b) = 0 $$

$$ (3t - (2a + b))(t - b) = 0 $$

ゆえに、$t = \frac{2a + b}{3}, \ b$ となる。 $0 < a < b$ であるから、

$$ \frac{a + 2b}{3} - b = \frac{a - b}{3} < 0 \implies b > \frac{a + 2b}{3} $$

$$ \frac{a + 2b}{3} - \frac{2a + b}{3} = \frac{b - a}{3} > 0 \implies \frac{2a + b}{3} < \frac{a + 2b}{3} $$

よって必要条件を満たすのは $t = \frac{2a + b}{3}$ のみである。このとき $t > 0$ も満たしている。 $t$ の前後での $u'(t)$ の符号変化を調べると、$t < \frac{2a + b}{3}$ のとき $u'(t) < 0$、$t > \frac{2a + b}{3}$ のとき $u'(t) > 0$ となることが平方根の大小比較から示せる。したがって、$u(t)$ は $t = \frac{2a + b}{3}$ のとき最小値をとる。

解法2

方程式の導出までは解法1と同様である。到達するまでに要する時間を $u$ とすると、次の関係式が成り立つ。

$$ u^2 - 2(t - b)u - (t - a)^2 - (t - b)^2 = 0 $$

この方程式の両辺を $t$ で微分する（$u$ は $t$ の関数である）。

$$ 2u \cdot u' - 2u - 2(t - b) \cdot u' - 2(t - a) - 2(t - b) = 0 $$

$$ u'(u - t + b) = u + 2t - a - b $$

$u$ が最小値をとるとき $u' = 0$ となるので、

$$ u + 2t - a - b = 0 \iff u = a + b - 2t $$

これを元の方程式に代入する。

$$ (a + b - 2t)^2 - 2(t - b)(a + b - 2t) - (t - a)^2 - (t - b)^2 = 0 $$

展開して整理する。

$$ (a^2 + 2ab + b^2 - 4at - 4bt + 4t^2) - 2(at + bt - 2t^2 - ab - b^2 + 2bt) - (t^2 - 2at + a^2) - (t^2 - 2bt + b^2) = 0 $$

$t^2$ について整理すると、

$$ (4 + 4 - 1 - 1)t^2 + (-4a - 4b - 2a - 2b + 4b + 2a + 2b)t + (a^2 + 2ab + b^2 + 2ab + 2b^2 - a^2 - b^2) = 0 $$

$$ 6t^2 - 4(a + 2b)t + 2b(2a + b) = 0 $$

$$ 3t^2 - 2(a + 2b)t + b(2a + b) = 0 $$

$$ (3t - (2a + b))(t - b) = 0 $$

よって、$t = \frac{2a + b}{3}, \ b$ である。ここで、$u = a + b - 2t$ にそれぞれ代入して $u \ge 0$ の条件を確認する。

$t = b$ のとき、$u = a + b - 2b = a - b$。条件 $a < b$ より $u < 0$ となり不適。
$t = \frac{2a + b}{3}$ のとき、$u = a + b - \frac{4a + 2b}{3} = \frac{b - a}{3}$。条件 $a < b$ より $u > 0$ となり適する。以上より、時間を最小にする時刻は $t = \frac{2a + b}{3}$ である。

解説

2点間の距離と時間の関係を立式し、関数の最小値を求める問題である。立式自体は三平方の定理（距離の公式）にそのまま当てはめるだけなので平易であるが、その後の処理で計算力が問われる。解法1のように平方根を含んだ関数を直接微分すると、極値をとる条件を求める際に2乗の計算が発生し、無縁根（同値性を崩す解）に注意する必要がある。また、増減の確認もやや煩雑になる。

一方、解法2のように方程式をそのままの形（陰関数）で微分し、$u'=0$ の条件を代入するアプローチをとると、平方根の計算を完全に回避でき、極めてスムーズに答えにたどり着くことができる。計算量を減らす強力なテクニックとして身につけておくとよいだろう。