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京都大学 2000年理系第1問解説

方針・初手

線分 $BC$ と線分 $AP$ の交点を $D$ とおき、点 $D$ が線分 $BC$ を $p : 1 - p$ に内分することから $\overrightarrow{AD}$ を $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$, $p$ を用いて表す。点 $A, D, P$ が同一直線上にあることから $\overrightarrow{AP} = k\overrightarrow{AD}$ とおき、点 $P$ が $\triangle ABC$ の外接円上にあるという条件から実数 $k$ の値を決定する。外接円上にある条件の処理方法として、方べきの定理を用いる図形的な解法と、外接円の中心（外心）を求めて処理する代数的な解法の2つを示す。

解法1

線分 $AP$ と線分 $BC$ の交点を $D$ とおく。

条件（ロ）より、点 $D$ は線分 $BC$ を $p : 1 - p$ に内分するので、

$$ \overrightarrow{AD} = (1 - p)\overrightarrow{AB} + p\overrightarrow{AC} $$

と表せる。

また、点 $A, D, P$ はこの順に同一直線上にあるので、実数 $k \ (k > 1)$ を用いて

$$ \overrightarrow{AP} = k\overrightarrow{AD} = k(1 - p)\overrightarrow{AB} + kp\overrightarrow{AC} $$

とおける。

$\triangle ABC$ は正三角形であるから、その1辺の長さを $a \ (a > 0)$ とすると、 $|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{AC}| = a$ であり、$\angle BAC = 60^\circ$ より内積は

$$ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = a \times a \times \cos 60^\circ = \frac{1}{2}a^2 $$

となる。ここで、$|\overrightarrow{AD}|^2$ を計算すると、

$$ \begin{aligned} |\overrightarrow{AD}|^2 &= |(1 - p)\overrightarrow{AB} + p\overrightarrow{AC}|^2 \\ &= (1 - p)^2|\overrightarrow{AB}|^2 + 2p(1 - p)\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} + p^2|\overrightarrow{AC}|^2 \\ &= (1 - p)^2 a^2 + 2p(1 - p) \times \frac{1}{2}a^2 + p^2 a^2 \\ &= \left\{ (1 - 2p + p^2) + (p - p^2) + p^2 \right\} a^2 \\ &= (p^2 - p + 1)a^2 \end{aligned} $$

となる。

次に、四角形 $ABPC$ が円に内接することから、方べきの定理を用いる。

線分 $AP$ と線分 $BC$ の交点が $D$ であるから、

$$ AD \cdot DP = BD \cdot DC $$

が成り立つ。点 $D$ は線分 $BC$ を $p : 1 - p$ に内分し、$BC = a$ であるから、$BD = pa$, $DC = (1 - p)a$ である。これらを代入すると、

$$ AD \cdot DP = pa \times (1 - p)a = p(1 - p)a^2 $$

となる。

線分 $AP$ の長さは $AP = AD + DP$ であるため、

$$ AP = AD + \frac{p(1 - p)a^2}{AD} = \frac{AD^2 + p(1 - p)a^2}{AD} $$

となる。ここで先ほど求めた $AD^2 = (p^2 - p + 1)a^2$ を代入すると、

$$ \begin{aligned} AP &= \frac{(p^2 - p + 1)a^2 + p(1 - p)a^2}{AD} \\ &= \frac{(p^2 - p + 1 + p - p^2)a^2}{AD} \\ &= \frac{a^2}{AD} \end{aligned} $$

となる。ゆえに、$AP : AD$ の比は

$$ \begin{aligned} \frac{AP}{AD} &= \frac{a^2}{AD^2} \\ &= \frac{a^2}{(p^2 - p + 1)a^2} \\ &= \frac{1}{p^2 - p + 1} \end{aligned} $$

となる。$\overrightarrow{AP} = \frac{AP}{AD}\overrightarrow{AD}$ であるから、

$$ \overrightarrow{AP} = \frac{1}{p^2 - p + 1} \left\{ (1 - p)\overrightarrow{AB} + p\overrightarrow{AC} \right\} $$

となる。

解法2

$\triangle ABC$ の外接円の中心（外心）を $O$ とし、半径を $R$ とする。

正三角形の外心は重心と一致するため、

$$ \overrightarrow{AO} = \frac{\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}}{3} $$

と表せる。$\triangle ABC$ の1辺の長さを $a$ とすると、解法1と同様に $|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{AC}| = a$, $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \frac{1}{2}a^2$ であるから、外接円の半径の2乗 $R^2$ は、

$$ \begin{aligned} R^2 &= |\overrightarrow{AO}|^2 \\ &= \frac{1}{9} \left| \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \right|^2 \\ &= \frac{1}{9} \left( |\overrightarrow{AB}|^2 + 2\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} + |\overrightarrow{AC}|^2 \right) \\ &= \frac{1}{9} \left( a^2 + a^2 + a^2 \right) \\ &= \frac{1}{3}a^2 \end{aligned} $$

となる。

点 $P$ はこの外接円上の点であるから、$|\overrightarrow{OP}| = R$ より $|\overrightarrow{OP}|^2 = R^2$ が成り立つ。

これを点 $A$ を始点とするベクトルに書き換えると、

$$ |\overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AO}|^2 = R^2 $$

$$ |\overrightarrow{AP}|^2 - 2\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{AO} + |\overrightarrow{AO}|^2 = R^2 $$

となり、$|\overrightarrow{AO}|^2 = R^2$ であるから、

$$ |\overrightarrow{AP}|^2 - 2\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{AO} = 0 $$

となる。

ここで、解法1と同様に $AP$ と $BC$ の交点を $D$ とすると、$\overrightarrow{AP} = k\overrightarrow{AD} = k\{(1-p)\overrightarrow{AB} + p\overrightarrow{AC}\} \ (k > 1)$ とおける。

$|\overrightarrow{AP}|^2$ と $\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{AO}$ をそれぞれ計算する。

解法1より $|\overrightarrow{AD}|^2 = (p^2 - p + 1)a^2$ であるから、

$$ |\overrightarrow{AP}|^2 = k^2 |\overrightarrow{AD}|^2 = k^2 (p^2 - p + 1)a^2 $$

となる。次に内積を計算すると、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{AO} &= k\{(1-p)\overrightarrow{AB} + p\overrightarrow{AC}\} \cdot \frac{\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}}{3} \\ &= \frac{k}{3} \left\{ (1-p)|\overrightarrow{AB}|^2 + (1-p)\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} + p\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB} + p|\overrightarrow{AC}|^2 \right\} \\ &= \frac{k}{3} \left\{ (1-p)a^2 + (1-p) \times \frac{1}{2}a^2 + p \times \frac{1}{2}a^2 + pa^2 \right\} \\ &= \frac{k}{3} \left( 1 - p + \frac{1}{2} - \frac{1}{2}p + \frac{1}{2}p + p \right) a^2 \\ &= \frac{k}{3} \times \frac{3}{2} a^2 \\ &= \frac{1}{2} k a^2 \end{aligned} $$

となる。これらを $|\overrightarrow{AP}|^2 - 2\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{AO} = 0$ に代入すると、

$$ k^2 (p^2 - p + 1)a^2 - 2 \times \frac{1}{2} k a^2 = 0 $$

$$ k \{ k(p^2 - p + 1) - 1 \} a^2 = 0 $$

$k > 1, a > 0$ より $k(p^2 - p + 1) - 1 = 0$ となるから、

$$ k = \frac{1}{p^2 - p + 1} $$

となる。したがって、

$$ \overrightarrow{AP} = \frac{1 - p}{p^2 - p + 1}\overrightarrow{AB} + \frac{p}{p^2 - p + 1}\overrightarrow{AC} $$

となる。

解説

「点が円周上にある」という条件をベクトルでどのように処理するかが問われる問題です。大きく分けて2つのアプローチが考えられます。

1つ目は、初等幾何の定理（方べきの定理）を併用する方法です（解法1）。点 $D$ を通り、円と交わる弦は $AP$ と $BC$ の2本が存在するため、方べきの定理がそのまま利用できます。この方法はベクトルの計算量が少なく、見通しよく解答を進めることができます。

2つ目は、円のベクトル方程式（または内積）を利用する方法です（解法2）。外心 $O$ の位置ベクトルを求め、$|\overrightarrow{OP}| = R$ （半径）となる条件を計算します。円周上の点に関するベクトルの問題では基本となる方針であり、こちらも確実に立式・計算できるようにしておきたい処理です。