トップ› 名古屋大学› 2001年› 理系第3問

名古屋大学 2001年理系第3問解説

方針・初手

(1) ベクトルの共線条件（$A, O, A'$ が一直線上）と、点が直線上にある条件（$A'$ が直線 $BC$ 上）を組み合わせて $\overrightarrow{OA'}$ を導出する。
(2) $\triangle ABC$ と $\triangle A'B'C'$ の外心がともに $O$ であることから、各頂点と $O$ の距離がそれぞれ等しいという条件を立式し、係数の連立方程式を解く。

解法1

(1)

$A, O, A'$ はこの順に一直線上にある（$O$ は $\triangle ABC$ の内部にあるため）。よって、実数 $k$ を用いて次のように表せる。

$$ \overrightarrow{OA'} = k \overrightarrow{OA} $$

与えられた条件 $\alpha \overrightarrow{OA} + \beta \overrightarrow{OB} + \gamma \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{0}$ より、

$$ \overrightarrow{OA} = - \frac{\beta}{\alpha} \overrightarrow{OB} - \frac{\gamma}{\alpha} \overrightarrow{OC} $$

これを $\overrightarrow{OA'} = k \overrightarrow{OA}$ に代入すると、

$$ \overrightarrow{OA'} = k \left( - \frac{\beta}{\alpha} \overrightarrow{OB} - \frac{\gamma}{\alpha} \overrightarrow{OC} \right) = - \frac{k\beta}{\alpha} \overrightarrow{OB} - \frac{k\gamma}{\alpha} \overrightarrow{OC} $$

点 $A'$ は直線 $BC$ 上にあるので、係数の和は $1$ である。すなわち、

$$ - \frac{k\beta}{\alpha} - \frac{k\gamma}{\alpha} = 1 $$

これを $k$ について解くと、

$$ - k (\beta + \gamma) = \alpha $$

$\beta, \gamma$ は正数より $\beta + \gamma > 0$ であるから、

$$ k = - \frac{\alpha}{\beta + \gamma} $$

したがって、求めるベクトルは、

$$ \overrightarrow{OA'} = - \frac{\alpha}{\beta + \gamma} \overrightarrow{OA} $$

(2)

(1) と同様にして、点 $B', C'$ についても以下の式が成り立つ。

$$ \overrightarrow{OB'} = - \frac{\beta}{\gamma + \alpha} \overrightarrow{OB} $$

$$ \overrightarrow{OC'} = - \frac{\gamma}{\alpha + \beta} \overrightarrow{OC} $$

$O$ は $\triangle ABC$ の外心であるから、外接円の半径を $R$ とすると、$|\overrightarrow{OA}| = |\overrightarrow{OB}| = |\overrightarrow{OC}| = R$ が成り立つ。したがって、

$$ |\overrightarrow{OA'}| = \left| - \frac{\alpha}{\beta + \gamma} \right| |\overrightarrow{OA}| = \frac{\alpha}{\beta + \gamma} R $$

（$\alpha, \beta, \gamma$ は正数であるため、$\frac{\alpha}{\beta + \gamma} > 0$ である。）

同様にして、

$$ |\overrightarrow{OB'}| = \frac{\beta}{\gamma + \alpha} R $$

$$ |\overrightarrow{OC'}| = \frac{\gamma}{\alpha + \beta} R $$

条件より $O$ は $\triangle A'B'C'$ の外心でもあるため、$|\overrightarrow{OA'}| = |\overrightarrow{OB'}| = |\overrightarrow{OC'}|$ が成り立つ。 $R > 0$ であるから、両辺を $R$ で割ると、

$$ \frac{\alpha}{\beta + \gamma} = \frac{\beta}{\gamma + \alpha} = \frac{\gamma}{\alpha + \beta} $$

まず、$\frac{\alpha}{\beta + \gamma} = \frac{\beta}{\gamma + \alpha}$ より、分母を払うと、

$$ \alpha(\gamma + \alpha) = \beta(\beta + \gamma) $$

展開して整理すると、

$$ \alpha^2 - \beta^2 + \alpha\gamma - \beta\gamma = 0 $$

$$ (\alpha - \beta)(\alpha + \beta) + \gamma(\alpha - \beta) = 0 $$

$$ (\alpha - \beta)(\alpha + \beta + \gamma) = 0 $$

ここで、$\alpha, \beta, \gamma$ は正数であるから $\alpha + \beta + \gamma > 0$ である。したがって、$\alpha - \beta = 0$ すなわち $\alpha = \beta$ が成り立つ。

同様に、$\frac{\beta}{\gamma + \alpha} = \frac{\gamma}{\alpha + \beta}$ からも同様の計算で $\beta = \gamma$ が導かれる。

以上より、$\alpha = \beta = \gamma$ が示された。

解説

三角形の内部の点と交点の位置ベクトルに関する典型的な問題である。 (1) は、始点を $O$ に統一して与式を変形し、一直線上にある条件（実数倍）と、線分を内分する条件（係数の和が $1$）を利用するオーソドックスな手法で導出できる。 (2) は「外心＝各頂点への距離が等しい」という性質をそのまま数式に翻訳すればよい。得られた連立方程式の処理では、対称性を意識して因数分解に持ち込むと論理を飛躍させずに示せる。