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京都大学 2000年理系第2問解説

方針・初手

(1) 直線と無理関数のグラフの共有点を求める問題は、変数を置き換えて2次方程式の解の配置問題に帰着させます。$\sqrt{x} = t$ とおくことで $t \geqq 0$ という定義域が現れることに注意して処理します。

(2) (1) の誘導を活かしながら与えられた方程式を整理し、解が実数か虚数かで場合分けして $|\beta|$ の最小値を求めます。

解法

(1)

$y = \sqrt{x}$ と $y = \frac{2}{a}x + 1 - \frac{1}{a}$ のグラフが共有点をもつ条件を求める。共有点の $x$ 座標は、$x \geqq 0$ の範囲で

$$ \sqrt{x} = \frac{2}{a}x + 1 - \frac{1}{a} $$

を満たす。$\sqrt{x} = t \ (t \geqq 0)$ とおくと、$x = t^2$ であり、

$$ t = \frac{2}{a}t^2 + 1 - \frac{1}{a} $$

$$ 2t^2 - at + a - 1 = 0 \quad \cdots (*) $$

となる。共有点をもつ条件は、2次方程式 $(*)$ が $t \geqq 0$ の範囲に少なくとも1つの実数解をもつことである。 $f(t) = 2t^2 - at + a - 1$ とおく。 $f(t) = 0$ の判別式を $D$ とすると、$D = a^2 - 8(a - 1) = a^2 - 8a + 8$ である。 $y = f(t)$ の軸は $t = \frac{a}{4}$ であり、$0 < a \leqq 2$ の条件より $\frac{a}{4} > 0$ である。軸が正であるため、$f(t) = 0$ が実数解をもてば、そのうち大きい方の解は必ず正となる。したがって、$t \geqq 0$ に解をもつための必要十分条件は、実数解をもつこと（$D \geqq 0$）である。

$$ D = a^2 - 8a + 8 \geqq 0 $$

これを解くと、

$$ a \leqq 4 - 2\sqrt{2}, \quad 4 + 2\sqrt{2} \leqq a $$

$0 < a \leqq 2$ の範囲と共通部分をとって求める範囲は、

$$ 0 < a \leqq 4 - 2\sqrt{2} $$

(2)

与えられた方程式を展開して整理する。

$$ (2x + a - 1)^2 = a^2x $$

$$ 4x^2 + 4(a - 1)x + (a - 1)^2 - a^2x = 0 $$

$$ 4x^2 - (a^2 - 4a + 4)x + (a - 1)^2 = 0 $$

$$ 4x^2 - (a - 2)^2x + (a - 1)^2 = 0 \quad \cdots (**) $$

この2次方程式 $(**)$ の判別式を $D'$ とすると、

$$ \begin{aligned} D' &= (a - 2)^4 - 16(a - 1)^2 \\ &= \{ (a - 2)^2 - 4(a - 1) \} \{ (a - 2)^2 + 4(a - 1) \} \\ &= (a^2 - 8a + 8)a^2 \end{aligned} $$

$0 < a \leqq 2$ より $a^2 > 0$ であるから、$D'$ の符号は (1) の判別式 $D = a^2 - 8a + 8$ の符号と一致する。ここで、$D' = 0$ となるのは $a = 4 - 2\sqrt{2}$ のときである。これをもとに場合分けを行う。

(i) $4 - 2\sqrt{2} \leqq a \leqq 2$ のとき

$D' \leqq 0$ となり、方程式 $(**)$ は互いに共役な複素数解（$a = 4 - 2\sqrt{2}$ のときは重解）をもつ。解を $\alpha, \beta$ とすると $\beta = \bar{\alpha}$ であるから、 $|\alpha| = |\beta|$ を満たす。解と係数の関係より、$\alpha \beta = \frac{(a - 1)^2}{4}$ であるから、

$$ |\beta|^2 = \alpha \bar{\alpha} = \alpha \beta = \frac{(a - 1)^2}{4} $$

$$ |\beta| = \frac{|a - 1|}{2} $$

この範囲では $4 - 2\sqrt{2} \approx 1.17$ より $a > 1$ であるから、$a - 1 > 0$ となり

$$ |\beta| = \frac{a - 1}{2} $$

これは $a$ について単調増加であるから、$a = 4 - 2\sqrt{2}$ のとき最小値をとる。最小値は

$$ \frac{4 - 2\sqrt{2} - 1}{2} = \frac{3 - 2\sqrt{2}}{2} $$

(ii) $0 < a \leqq 4 - 2\sqrt{2}$ のとき

$D' \geqq 0$ となり、方程式 $(**)$ は実数解をもつ。解と係数の関係より、和 $\alpha + \beta = \frac{(a - 2)^2}{4} > 0$、積 $\alpha \beta = \frac{(a - 1)^2}{4} \geqq 0$ であるから、$\alpha, \beta$ はともに0以上の実数である。 $|\alpha| \leqq |\beta|$ より $0 \leqq \alpha \leqq \beta$ であり、$|\beta| = \beta$ となる。方程式 $(2x + a - 1)^2 = a^2x$ は右辺が $a^2x \geqq 0$ であるから実数解 $x$ は $x \geqq 0$ を満たす。よって $t = \sqrt{x} \ (t \geqq 0)$ とおくと、

$$ (2t^2 + a - 1)^2 = a^2t^2 $$

$$ 2t^2 + a - 1 = \pm at $$

すなわち、$2t^2 - at + a - 1 = 0$ または $2t^2 + at + a - 1 = 0$ を得る。 $\beta$ は $x$ の最大の解であるから、$t$ の最大の解の2乗に等しい。 $t$ の解は $t = \frac{\pm a \pm \sqrt{a^2 - 8a + 8}}{4}$ であり、このうち最大のものは $t = \frac{a + \sqrt{a^2 - 8a + 8}}{4}$ である。したがって、

$$ \sqrt{\beta} = \frac{a + \sqrt{a^2 - 8a + 8}}{4} $$

と表せる。ここで $h(a) = a + \sqrt{a^2 - 8a + 8}$ とおくと、

$$ h'(a) = 1 + \frac{2a - 8}{2\sqrt{a^2 - 8a + 8}} = \frac{\sqrt{a^2 - 8a + 8} - (4 - a)}{\sqrt{a^2 - 8a + 8}} $$

$a \leqq 4 - 2\sqrt{2} < 4$ より $4 - a > 0$ であり、

$$ (\sqrt{a^2 - 8a + 8})^2 - (4 - a)^2 = a^2 - 8a + 8 - (16 - 8a + a^2) = -8 < 0 $$

であるから $\sqrt{a^2 - 8a + 8} < 4 - a$ となり、$h'(a) < 0$ がわかる。よって $\sqrt{\beta}$ はこの範囲で単調減少であり、$a = 4 - 2\sqrt{2}$ のとき最小値をとる。 $\sqrt{\beta}$ の最小値は $\frac{4 - 2\sqrt{2} + 0}{4} = \frac{2 - \sqrt{2}}{2}$。したがって、$|\beta| = \beta$ の最小値は

$$ \left( \frac{2 - \sqrt{2}}{2} \right)^2 = \frac{6 - 4\sqrt{2}}{4} = \frac{3 - 2\sqrt{2}}{2} $$

（i）, （ii）より、いずれの場合も最小値は $\frac{3 - 2\sqrt{2}}{2}$ となる。

解説

(1) は無理方程式の実数解の条件を求める基本問題です。$\sqrt{x}$ を文字で置き換えた際、$x \geqq 0$ の条件が新しい文字の定義域に反映されることに注意して、2次方程式の解の配置問題として処理します。 (2) は (1) の式変形が誘導になっています。与えられた4次方程式（$x$ については2次方程式）の判別式が (1) で調べた判別式と連動していることを見抜くのがポイントです。複素数平面での絶対値は、実数解の場合はそのまま扱い、虚数解の場合は解と係数の関係から積を用いて計算するという定石を用います。