京都大学 2003年 理系 第6問 解説

方針・初手

各チームは $n-1$ 試合を行うため、「$(n-2)$勝1敗」とはちょうど1敗だけしたチームを意味します。特定の2チームのみが $(n-2)$勝1敗となる確率を、各対戦の独立性を利用して計算します。途中、ターゲット外のチームが $(n-2)$勝1敗になってしまうケースを確実に除外することが鍵です。

解法1

(i)

$n = 3$ のとき

$(n-2)$勝1敗とは「1勝1敗」のことである。全チームの勝ち数の合計は $3$ であり、「1勝1敗がちょうど2チーム」となると残る1チームも1勝1敗となって矛盾する。よって確率は $0$ である。

(ii)

$n \geqq 4$ のとき

特定の2チーム $A, B$ のみが $(n-2)$勝1敗となる事象 $E_{A,B}$ の確率を求める。$A$ が $B$ に勝つ事象 $F$ の確率を計算し、対称性から $P(E_{A,B}) = 2P(F)$ とする。

$F$ が起こるためには：

• $A$ が $B$ に勝つ：確率 $\dfrac{1}{2}$

• $B$ が残りの $n-2$ チームすべてに勝つ（$B$ の1敗は $A$ のみ）：確率 $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-2}$

• $A$ が残りの $n-2$ チームのうちちょうど1チーム $C$ に負ける：確率 $(n-2)\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-2}$

• $C$ が残りの $n-3$ チーム（$D$ グループ）のうち少なくとも1チームに負ける（$C$ が $(n-2)$勝1敗になることを防ぐ）：確率 $1 - \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-3}$

各対戦は独立であるから

$$ P(F) = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-2} \cdot (n-2)\left(\frac{1}{2}\right)^{n-2} \cdot \left\{ 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{n-3} \right\} $$

$$ = (n-2)\left(\frac{1}{2}\right)^{2n-3} \left\{ 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{n-3} \right\} $$

よって

$$ P(E_{A,B}) = 2P(F) = (n-2)\left(\frac{1}{2}\right)^{2n-4} \left\{ 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{n-3} \right\} $$

2チームの選び方 $\dbinom{n}{2} = \dfrac{n(n-1)}{2}$ を掛けて

$$ \frac{n(n-1)}{2} \cdot (n-2)\left(\frac{1}{2}\right)^{2n-4} \left\{ 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{n-3} \right\} = \frac{n(n-1)(n-2)(2^{n-3}-1)}{2^{3n-6}} $$

この式は $n=3$ のとき分子が $0$ となり （i） の結果と一致する。

解説

リーグ戦の確率問題の定石通り、特定のチームに注目して確率を計算し、後から組合せを掛けるアプローチを取ります。本問の最大のポイントは、ターゲット外のチーム $C$ が $(n-2)$勝1敗にならないよう、少なくとも1敗させる確率を掛ける点です。

答え

$$ \frac{n(n-1)(n-2)(2^{n-3}-1)}{2^{3n-6}} $$