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京都大学 2003年理系第5問解説

方針・初手

行列 $B$ が「零行列でなければ逆行列をもつ」という条件を対偶でとらえ、「$B$ が逆行列をもたない $\implies B = O$」と読み換えます。$B$ が逆行列をもたない条件は $\det B = 0$ です。$B = rE + sA$ とおき、$\det B = 0$ となるような実数 $(r, s)$ に対して常に $B = O$ となる条件を考えます。

解法1

条件 $(*)$ は「$B \in L(A)$ かつ $\det B = 0 \implies B = O$」と同値である。$A$ の固有多項式の判別式を

$$ D = (a+d)^2 - 4(ad-bc) = (a-d)^2 + 4bc $$

とおく。

(i)

$D < 0$ のとき

$A$ は実数の固有値を持たない。$s \neq 0$ のとき $B = s\left(\dfrac{r}{s}E + A\right)$ であり、$\det B = 0$ とすると $-\dfrac{r}{s}$ が $A$ の実数固有値となって矛盾する。よって $s \neq 0$ のときは常に $\det B \neq 0$ である。$s = 0$ のとき $B = rE$ であり、$\det B = r^2 = 0 \implies r = 0 \implies B = O$。したがって $D < 0$ のとき条件 $(*)$ は成立する。

(ii)

$D \geqq 0$ のとき

$A$ は実数固有値 $\alpha$ をもち、$A\vec{v} = \alpha\vec{v}$ を満たす $\vec{v} \neq \vec{0}$ が存在する。$r = -\alpha, s = 1$ と選ぶと $B_1 = -\alpha E + A \in L(A)$ であり、$B_1\vec{v} = \vec{0}$（$\vec{v}\neq\vec{0}$）より $\det B_1 = 0$。条件 $(*)$ が成立するには $B_1 = O \iff A = \alpha E$ が必要。$A = \alpha E$ のとき $a = d = \alpha, b = c = 0$ となる。逆に $a=d$ かつ $b=c=0$ のとき $A = aE$ であり、任意の $B = tE \in L(A)$ に対して $B \neq O \iff t \neq 0 \iff \det B = t^2 \neq 0$ となるから条件 $(*)$ は成立する。

以上 (i)(ii) より、求める必要十分条件は

$$ (a-d)^2 + 4bc < 0 \quad \text{または} \quad (a=d \text{ かつ } b=c=0) $$

解法2

$\det(rE+sA) = r^2 + (a+d)rs + (ad-bc)s^2$ を $f(r,s)$ とおく。判別式 $D = (a-d)^2 + 4bc$ として場合分けする。

(i)

$D < 0$ のとき

$f(r,s) = 0$ を満たす実数は $(r,s) = (0,0)$ のみ。このとき $rE+sA = O$ となるから条件 $(*)$ は成立する。

(ii)

$D > 0$ のとき

$f(\alpha, 1) = 0$ となる実数 $\alpha$ が存在し、$B_1 = \alpha E + A$ は $\det B_1 = 0$ かつ $B_1 \neq O$（$A = -\alpha E$ とすると $D=0$ に矛盾）となるため条件 $(*)$ は成立しない。

(iii)

$D = 0$ のとき

$f(r,s) = \left(r + \dfrac{a+d}{2}s\right)^2$ と平方完成される。$s=1, r=-\dfrac{a+d}{2}$ に対応する $B_1 = -\dfrac{a+d}{2}E + A$ が $O$ となる必要があり、$a=d$ かつ $b=c=0$ が導かれる。この条件が成り立つとき条件 $(*)$ は成立する。

以上より、求める必要十分条件は

$$ (a-d)^2 + 4bc < 0 \quad \text{または} \quad (a=d \text{ かつ } b=c=0) $$

解説

逆行列をもたない条件を $\det B = 0$ と言い換え、対偶をとって「$\det B = 0 \implies B=O$」という命題の真偽を調べる問題です。行列 $A$ に対し $\det(xE-A)=0$ の解は $A$ の固有値に他ならないことに気づけば、解法1のように固有値の存在条件（判別式）で場合分けするのが最も見通しよくなります。「2次同次式 $f(x,y)=0$ を満たす実数が $(0,0)$ のみ」という条件を判別式で処理するスキルは難関大で頻出です。