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京都大学 2008年理系第5問（乙）解説

方針・初手

平面 $H$ の方程式を求める。
求める立体の領域を不等式で表す。
体積を求めるための適切な断面を設定し、定積分を計算する。

解法1（$xy$ 平面上の二重積分への帰着）

円柱 $C$ は底面の半径が $2$、高さが $1$ であるから、$x^2 + y^2 \leqq 4$, $0 \leqq z \leqq 1$ で表される。

平面 $H$ は、$xy$ 平面上の直線 $y = 1$（$z = 0$）を含み、$xy$ 平面と $45^\circ$ の角をなす。この平面の方程式は $z = \pm(y - 1)$ と表せる。

平面 $H$ は点 $(0, 2, 1)$ を通るため、$1 = \pm(2 - 1)$ となり、符号は $+$ である。よって、平面 $H$ の方程式は

$$ z = y - 1 $$

である。

円柱 $C$ を平面 $H$ で二つに分けたとき、点 $(0, 2, 0)$ を含む方の立体を $V$ とする。

点 $(0, 2, 0)$ において、平面 $H$ の式は $z = 2 - 1 = 1$ となり、点の $z$ 座標 $0$ は $0 \leqq 1$ を満たすため、求める立体は $z \leqq y - 1$ の領域である。

立体 $V$ の条件は、

$$ x^2 + y^2 \leqq 4, \quad 0 \leqq z \leqq 1, \quad 0 \leqq z \leqq y - 1 $$

である。$0 \leqq y - 1$ より $y \geqq 1$ である。また、$x^2 + y^2 \leqq 4$ において最大でも $y \leqq 2$ であるから、$y - 1 \leqq 1$ は常に成り立つ。したがって、立体 $V$ における $z$ の範囲は $0 \leqq z \leqq y - 1$ となる。

$xy$ 平面上の積分領域 $D$ を $x^2 + y^2 \leqq 4$ かつ $1 \leqq y \leqq 2$ とすると、求める体積は

$$ V = \iint_D (y - 1) \,dxdy $$

である。これを $x$ について先に積分すると、

$$ V = \int_1^2 \left( \int_{-\sqrt{4-y^2}}^{\sqrt{4-y^2}} (y - 1) \,dx \right) dy = \int_1^2 (y - 1) \cdot 2\sqrt{4-y^2} \,dy $$

$$ = \int_1^2 2y\sqrt{4-y^2} \,dy - \int_1^2 2\sqrt{4-y^2} \,dy $$

第1項の積分は、

$$ \int_1^2 2y(4-y^2)^{\frac{1}{2}} \,dy = \left[ -\frac{2}{3}(4-y^2)^{\frac{3}{2}} \right]_1^2 = 0 - \left( -\frac{2}{3} \cdot 3^{\frac{3}{2}} \right) = 2\sqrt{3} $$

第2項の積分 $\displaystyle\int_1^2 2\sqrt{4-y^2} \,dy$ は、半径 $2$ の円 $x^2 + y^2 \leqq 4$ の $y \geqq 1$ の部分の面積を表す。この部分は、中心角 $120^\circ$ の扇形から二等辺三角形を引いた面積に等しいため、

$$ \frac{1}{2} \cdot 2^2 \cdot \frac{2\pi}{3} - \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3} \cdot 1 = \frac{4\pi}{3} - \sqrt{3} $$

以上より、求める体積 $V$ は

$$ V = 2\sqrt{3} - \left( \frac{4\pi}{3} - \sqrt{3} \right) = 3\sqrt{3} - \frac{4\pi}{3} $$

解法2（$x$ 軸に垂直な断面で切る）

立体 $V$ を $x$ 軸に垂直な平面で切断したときの断面を考える。

$x^2 + y^2 \leqq 4$ かつ $y \geqq 1$ であるから、$x$ の取り得る範囲は $-\sqrt{3} \leqq x \leqq \sqrt{3}$ である。

$x$ を固定したときの断面は、$1 \leqq y \leqq \sqrt{4-x^2}$ かつ $0 \leqq z \leqq y - 1$ を満たす $(y, z)$ の領域であり、これは底辺と高さがともに $\sqrt{4-x^2} - 1$ の直角二等辺三角形になる。

よって、断面積 $S(x)$ は

$$ S(x) = \frac{1}{2} \left( \sqrt{4-x^2} - 1 \right)^2 = \frac{1}{2} \left( 5 - x^2 - 2\sqrt{4-x^2} \right) $$

$S(x)$ は偶関数であるから、

$$ V = \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} S(x) \,dx = 2 \int_0^{\sqrt{3}} \frac{1}{2} \left( 5 - x^2 - 2\sqrt{4-x^2} \right) dx $$

$$ = \int_0^{\sqrt{3}} (5 - x^2) \,dx - \int_0^{\sqrt{3}} 2\sqrt{4-x^2} \,dx $$

前半の積分は、

$$ \left[ 5x - \frac{x^3}{3} \right]_0^{\sqrt{3}} = 5\sqrt{3} - \sqrt{3} = 4\sqrt{3} $$

後半の積分は、$x = 2\sin\theta$ とおくと $dx = 2\cos\theta \,d\theta$ であり、積分区間は $0 \to \dfrac{\pi}{3}$ となる。

$$ \int_0^{\frac{\pi}{3}} 2 \cdot 2\cos\theta \cdot 2\cos\theta \,d\theta = 8 \int_0^{\frac{\pi}{3}} \cos^2\theta \,d\theta = 4 \int_0^{\frac{\pi}{3}} (1 + \cos 2\theta) \,d\theta $$

$$ = 4 \left[ \theta + \frac{1}{2}\sin 2\theta \right]_0^{\frac{\pi}{3}} = 4 \left( \frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{4} \right) = \frac{4\pi}{3} + \sqrt{3} $$

よって、

$$ V = 4\sqrt{3} - \left( \frac{4\pi}{3} + \sqrt{3} \right) = 3\sqrt{3} - \frac{4\pi}{3} $$

解説

円柱を斜めの平面で切断した立体の体積を求める、典型的な空間図形の積分問題です。

平面の方程式を正しく立式し、指定された点を含む領域の不等式を正確に把握することが第一歩です。

積分の計算においては、解法1のように $z$ 方向への積分を先に行って $xy$ 平面上の二重積分に帰着させるか、解法2のように座標軸に垂直な断面（今回は直角二等辺三角形）の面積を積分する手法が定石となります。途中であらわれる $\sqrt{4-x^2}$ の積分を「円の一部（扇形から三角形を引いたもの）の面積」として幾何学的に処理すると、計算ミスを防ぎやすくなります。