名古屋大学 1989年 理系 第2問 解説

方針・初手

空間に座標を導入して立体の形を数式で表すことから始める。 $F_1, F_2$ の中点 $O$ を原点とし、$F_1, F_2$ を $z$ 軸上にとることで、条件 (ii) は原点を中心とする回転楕円体の内部、条件 (i) は原点を中心とする球の外部（境界含む）として表すことができる。 求める立体は $z$ 軸まわりの回転体となるため、$z$ 軸に垂直な平面 $z=t$ で切断し、断面の面積を積分して体積を求める方針をとる。

解法1

空間に $O(0, 0, 0)$ を原点とする $xyz$ 座標系を定め、$F_1(0, 0, 1)$, $F_2(0, 0, -1)$ とおく。 空間内の点 $P(x, y, z)$ について考える。

条件 (ii) $PF_1 + PF_2 \leqq 6$ は、2点 $F_1, F_2$ を焦点とし、長軸の長さが $6$ の回転楕円体の内部および境界を表す。 長軸の長さを $2a = 6$、焦点までの距離を $c = 1$、短軸の長さを $2b$ とすると、$a = 3$ であり、 $$b^2 = a^2 - c^2 = 3^2 - 1^2 = 8$$ よって、この楕円体の不等式は $$\frac{x^2 + y^2}{8} + \frac{z^2}{9} \leqq 1$$ $$x^2 + y^2 \leqq 8\left(1 - \frac{z^2}{9}\right) \cdots (1)$$ となる。

一方、条件 (i) $OP \geqq r$ より $$x^2 + y^2 + z^2 \geqq r^2$$ $$x^2 + y^2 \geqq r^2 - z^2 \cdots (2)$$ これは原点中心、半径 $r$ の球の外部（境界含む）を表す。

求める立体は、不等式 $(1)$ かつ $(2)$ を満たす領域である。これは $z$ 軸まわりの回転体であるため、平面 $z = t$ における断面の面積 $S(t)$ を考える。 対称性から $t \geqq 0$ の範囲で調べる。

断面における境界線の半径の2乗は、楕円体由来の $R_E^2 = 8\left(1 - \frac{t^2}{9}\right)$ と球由来の $R_B^2 = r^2 - t^2$ である。 境界が一致する $t$ は、 $R_E^2 = R_B^2$ より $$8\left(1 - \frac{t^2}{9}\right) = r^2 - t^2$$ $$\frac{1}{9}t^2 = r^2 - 8$$ $$t^2 = 9(r^2 - 8)$$ 条件より $2\sqrt{2} \leqq r \leqq 3$ つまり $8 \leqq r^2 \leqq 9$ であるから、$0 \leqq 9(r^2 - 8) \leqq 9$ となり実数 $t$ が存在する。 $t_0 = 3\sqrt{r^2 - 8}$ とおくと、$0 \leqq t_0 \leqq 3$ である。 さらに、$r^2 - t_0^2 = r^2 - 9(r^2 - 8) = 8(9 - r^2) \geqq 0$ より $t_0 \leqq r$ であるから、$0 \leqq t_0 \leqq r \leqq 3$ と位置関係が定まる。

各区間における断面の面積 $S(t)$ は以下のようになる。

(ア) $0 \leqq t \leqq t_0$ のとき $t^2 \leqq t_0^2 = 9(r^2 - 8)$ より、$r^2 - t^2 \geqq 8\left(1 - \frac{t^2}{9}\right)$ すなわち $R_B^2 \geqq R_E^2$ が成り立つ。 条件 $(1), (2)$ を同時に満たす $x, y$ は存在しないため、$S(t) = 0$。

(イ) $t_0 \leqq t \leqq r$ のとき $R_E^2 \geqq R_B^2 \geqq 0$ となる。断面は2つの円に挟まれた円環領域となり、 $$S(t) = \pi(R_E^2 - R_B^2) = \pi \left\{ 8\left(1 - \frac{t^2}{9}\right) - (r^2 - t^2) \right\} = \pi \left( \frac{1}{9}t^2 - r^2 + 8 \right)$$

(ウ) $r \leqq t \leqq 3$ のとき $r^2 - t^2 \leqq 0$ となるため、条件 $(2)$ はすべての $x, y$ で成り立つ。 断面は不等式 $(1)$ が表す円そのものとなり、 $$S(t) = \pi R_E^2 = 8\pi \left(1 - \frac{t^2}{9}\right)$$

$t > 3$ のときは $(1)$ を満たす実数 $x, y$ は存在せず $S(t) = 0$ となる。 対称性から、求める体積 $V$ は $$V = 2 \int_{0}^{3} S(t) dt = 2 \pi \int_{t_0}^{r} \left( \frac{1}{9}t^2 - r^2 + 8 \right) dt + 2 \pi \int_{r}^{3} 8\left(1 - \frac{t^2}{9}\right) dt$$

第1項の定積分を計算する。$r^2 - 8 = \frac{1}{9}t_0^2$ に注意して、 $$\begin{aligned} \int_{t_0}^{r} \left( \frac{1}{9}t^2 - r^2 + 8 \right) dt &= \left[ \frac{1}{27}t^3 - (r^2 - 8)t \right]_{t_0}^{r} \\ &= \left( \frac{1}{27}r^3 - r^3 + 8r \right) - \left( \frac{1}{27}t_0^3 - \frac{1}{9}t_0^3 \right) \\ &= -\frac{26}{27}r^3 + 8r + \frac{2}{27}t_0^3 \end{aligned}$$ ここで、$t_0^3 = \left( 3\sqrt{r^2 - 8} \right)^3 = 27(r^2 - 8)^{\frac{3}{2}}$ であるから、 $$\int_{t_0}^{r} \left( \frac{1}{9}t^2 - r^2 + 8 \right) dt = 8r - \frac{26}{27}r^3 + 2(r^2 - 8)^{\frac{3}{2}}$$

第2項の定積分を計算する。 $$\int_{r}^{3} 8\left(1 - \frac{t^2}{9}\right) dt = \left[ 8t - \frac{8}{27}t^3 \right]_{r}^{3} = (24 - 8) - \left( 8r - \frac{8}{27}r^3 \right) = 16 - 8r + \frac{8}{27}r^3$$

これらを足し合わせて $2\pi$ 倍すると、 $$\begin{aligned} V &= 2\pi \left\{ \left( 8r - \frac{26}{27}r^3 + 2(r^2 - 8)^{\frac{3}{2}} \right) + \left( 16 - 8r + \frac{8}{27}r^3 \right) \right\} \\ &= 2\pi \left( 16 - \frac{18}{27}r^3 + 2(r^2 - 8)^{\frac{3}{2}} \right) \\ &= 32\pi - \frac{4}{3}\pi r^3 + 4\pi (r^2 - 8)^{\frac{3}{2}} \end{aligned}$$

解法2

解法1と同様に空間座標を定め、領域を立式する。 条件 (ii) は楕円体 $E: \frac{x^2 + y^2}{8} + \frac{z^2}{9} \leqq 1$ の内部、条件 (i) は球 $B: x^2 + y^2 + z^2 < r^2$ の外部である。 求める立体の体積 $V$ は、楕円体 $E$ の体積 $V_E$ から、$E$ と $B$ の共通部分の体積 $V_{E \cap B}$ を引いた値に等しい。

楕円体 $E$ の体積は $$V_E = \frac{4}{3}\pi \cdot \sqrt{8} \cdot \sqrt{8} \cdot 3 = 32\pi$$

$E$ と $B$ の共通部分の切り口について考える。平面 $z=t$ における $E$ と $B$ の切り口の半径の2乗は $$R_E^2 = 8\left(1 - \frac{t^2}{9}\right), \quad R_B^2 = r^2 - t^2$$ これらが等しくなるのは $t_0 = 3\sqrt{r^2 - 8}$ のときである。 $0 \leqq t \leqq t_0$ では $R_E^2 \leqq R_B^2$ より、共通部分の切り口は $E$ の切り口に一致する。 $t_0 \leqq t \leqq r$ では $R_B^2 \leqq R_E^2$ より、共通部分の切り口は $B$ の切り口に一致する。 よって共通部分の体積の半分は $$\frac{1}{2} V_{E \cap B} = \int_{0}^{t_0} \pi \cdot 8\left(1 - \frac{t^2}{9}\right) dt + \int_{t_0}^{r} \pi (r^2 - t^2) dt$$

第1項を計算する。$t_0^2 = 9(r^2 - 8)$ を用いて、 $$\int_{0}^{t_0} 8\left(1 - \frac{t^2}{9}\right) dt = \left[ 8t - \frac{8}{27}t^3 \right]_{0}^{t_0} = 8t_0 - \frac{8}{27} \cdot 9(r^2 - 8)t_0 = \frac{88 - 8r^2}{3}t_0$$

第2項を計算する。 $$\int_{t_0}^{r} (r^2 - t^2) dt = \left[ r^2t - \frac{1}{3}t^3 \right]_{t_0}^{r} = \frac{2}{3}r^3 - r^2t_0 + \frac{1}{3} \cdot 9(r^2 - 8)t_0 = \frac{2}{3}r^3 + (2r^2 - 24)t_0$$

和をとると $$\frac{1}{2\pi} V_{E \cap B} = \frac{88 - 8r^2}{3}t_0 + \frac{2}{3}r^3 + \frac{6r^2 - 72}{3}t_0 = \frac{2}{3}r^3 + \frac{16 - 2r^2}{3}t_0$$ $t_0 = 3\sqrt{r^2 - 8}$ を代入して $2\pi$ 倍すると $$V_{E \cap B} = 2\pi \left( \frac{2}{3}r^3 + \frac{2(8 - r^2)}{3} \cdot 3\sqrt{r^2 - 8} \right) = \frac{4}{3}\pi r^3 - 4\pi(r^2 - 8)^{\frac{3}{2}}$$

したがって、求める体積 $V$ は $$V = V_E - V_{E \cap B} = 32\pi - \frac{4}{3}\pi r^3 + 4\pi (r^2 - 8)^{\frac{3}{2}}$$

解説

空間図形の基本である「座標軸の設定」と「断面の考察」を要求する問題である。 条件式から回転楕円体と球の不等式を正しく導出できるかが第一関門となる。焦点からの距離の和が一定である点の軌跡が楕円体となる性質は、空間座標でも平面図形と同様に処理できる。 立体の形状が把握できたら、回転軸に垂直な平面で切断して断面積を積分する。積分区間の境界となる $t_0$ の値や、区間ごとの断面の形状（円環か、単一の円か）の違いを丁寧に場合分けして計算することが重要である。解法2のように「全体の体積から重なった部分を引く」と見方を工夫すると、積分計算が少し穏やかになり見通しが良くなる。

答え

$$32\pi - \frac{4}{3}\pi r^3 + 4\pi (r^2 - 8)^{\frac{3}{2}}$$