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京都大学 2011年理系第1問解説

方針・初手

(1) 箱から2枚のカードを同時に選ぶとき、「小さい方の数が $k$ になる確率」をそれぞれ求めます。試行は復元抽出（カードを戻す）であるため独立であり、$X=Y$ となる確率は、それぞれの値をとる確率の2乗和 $\sum_{k=1}^{8} \{P(X=k)\}^2$ として計算できます。

(2) 根号の中に $1-2x^2$ があるため、三角関数への置換積分を行います。$\sqrt{2}x = \sin\theta$ と置換することで、根号を外して計算可能な形に持ち込みます。展開して2つの積分に分けて計算する手法も有効です。

解法1

(1)

9枚のカードから同時に2枚を選ぶ選び方の総数は、

$$ {}_{9}\mathrm{C}_{2} = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36 \text{ （通り）} $$

であり、これらは同様に確からしい。

1回の試行において、選んだ2枚のうち小さい方の数が $k$（$k=1, 2, \dots, 8$）になる事象を考える。このとき、1枚は必ず $k$ であり、もう1枚は $k+1$ から $9$ までの $(9-k)$ 枚の中から選ばれなければならない。このような選び方は $1 \times (9-k) = 9-k$ 通りである。

したがって、小さい方の数が $k$ となる確率は、

$$ P(X=k) = \frac{9-k}{36} $$

1回目の試行と2回目の試行は独立であるため、$X=Y=k$ となる確率は $P(X=k) \times P(Y=k) = \{P(X=k)\}^2$ である。

求める確率 $P(X=Y)$ は、$k$ が $1$ から $8$ までのすべての場合の和であるから、

$$ P(X=Y) = \sum_{k=1}^{8} \{P(X=k)\}^2 = \sum_{k=1}^{8} \left( \frac{9-k}{36} \right)^2 = \frac{1}{36^2} \sum_{k=1}^{8} (9-k)^2 $$

ここで、$m = 9-k$ とおくと、$k$ が $1$ から $8$ まで変わるとき、$m$ は $8$ から $1$ まで変わる。自然数の2乗の和の公式を用いると、

$$ \sum_{k=1}^{8} (9-k)^2 = \sum_{m=1}^{8} m^2 = \frac{1}{6} \cdot 8 \cdot 9 \cdot (2 \cdot 8 + 1) = \frac{8 \cdot 9 \cdot 17}{6} = 204 $$

よって、求める確率は

$$ P(X=Y) = \frac{204}{1296} = \frac{17}{108} $$

(2)

求める定積分を $I$ とする。

$$ I = \int_{0}^{\frac{1}{2}} (x+1)\sqrt{1-2x^2}\, dx $$

$\sqrt{2}x = \sin\theta$ と置換する。$x = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\sin\theta$ であり、両辺を微分すると $dx = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\cos\theta\, d\theta$

積分区間について、$x$ が $0 \to \dfrac{1}{2}$ のとき、$\dfrac{1}{\sqrt{2}}\sin\theta = 0 \implies \theta=0$、$\dfrac{1}{\sqrt{2}}\sin\theta = \dfrac{1}{2} \implies \sin\theta = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \implies \theta = \dfrac{\pi}{4}$ であるから、$\theta$ の区間は $0 \to \dfrac{\pi}{4}$ となる。

この区間において $\cos\theta > 0$ であるため、

$$ \sqrt{1-2x^2} = \sqrt{1-\sin^2\theta} = \sqrt{\cos^2\theta} = \cos\theta $$

となる。これらを定積分に代入すると、

$$ I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \left( \frac{1}{\sqrt{2}}\sin\theta + 1 \right) \cos\theta \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\cos\theta\, d\theta $$

$$ = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin\theta \cos^2\theta\, d\theta + \frac{1}{\sqrt{2}} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos^2\theta\, d\theta $$

それぞれの積分を計算する。第1項の積分は、$(\cos\theta)' = -\sin\theta$ であることを用いる。

$$ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin\theta \cos^2\theta\, d\theta = \left[ -\frac{1}{3}\cos^3\theta \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = -\frac{1}{3} \left( \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^3 - 1^3 \right) = -\frac{1}{3} \left( \frac{\sqrt{2}}{4} - 1 \right) = \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{2}}{12} $$

第2項の積分は、半角の公式 $\cos^2\theta = \dfrac{1+\cos 2\theta}{2}$ を用いる。

$$ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos^2\theta\, d\theta = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (1+\cos 2\theta)\, d\theta = \frac{1}{2} \left[ \theta + \frac{1}{2}\sin 2\theta \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}\sin\frac{\pi}{2} \right) = \frac{\pi}{8} + \frac{1}{4} $$

これらを足し合わせて、

$$ I = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{2}}{12} \right) + \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \frac{\pi}{8} + \frac{1}{4} \right) $$

$$ = \frac{1}{6} - \frac{\sqrt{2}}{24} + \frac{\sqrt{2}\pi}{16} + \frac{\sqrt{2}}{8} $$

$$ = \frac{1}{6} + \frac{\sqrt{2}\pi}{16} + \frac{-\sqrt{2} + 3\sqrt{2}}{24} = \frac{1}{6} + \frac{\sqrt{2}\pi}{16} + \frac{\sqrt{2}}{12} $$

解説

(1) は確率分布と反復試行（独立試行）の定石問題である。「特定のカードが『小さい方』になるのはどんな組合せのときか」を論理的に数え上げ、一般化してシグマ計算に持ち込むというスムーズな処理能力が問われている。

(2) の積分は、$\int x\sqrt{1-2x^2}\,dx$ と $\int \sqrt{1-2x^2}\,dx$ に分けて計算することも可能である。前者は $1-2x^2 = t$ の置換積分で解け、後者は四分の一楕円の面積に帰着させて図形的に求めることができる。解答で示したように、全体をまとめて $\sqrt{2}x = \sin\theta$ で置換してしまえば、あとは標準的な三角関数の積分処理だけで完結するため、ミスを誘発しにくいメリットがある。