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京都大学 2011年理系第2問解説

方針・初手

1次変換を表す行列と点の移動に関する条件から、未知数 $a, b, c$ についての方程式を立てる標準的な問題である。条件(i)から行列の積を計算して2つの方程式を導く。条件(ii)から移動後の点 $A, B$ の座標を求め、原点を1つの頂点とする三角形の面積公式を用いて絶対値を含む方程式を導く。これらを連立させて解を求める。

解法1

行列 $\begin{pmatrix} a & 1 \\ b & c \end{pmatrix}$ を $M$ とする。

条件(i)より、点 $(1, 2)$ は $T$ によって点 $(1, 2)$ に移るから、

$$ \begin{pmatrix} a & 1 \\ b & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} $$

行列の積を計算して成分を比較すると、

$$ \begin{cases} a + 2 = 1 \quad \cdots① \\ b + 2c = 2 \quad \cdots② \end{cases} $$

① より、$a = -1$ である。

条件(ii)より、点 $(1, 0)$ と点 $(0, 1)$ が $T$ によって移る点 $A, B$ の座標を求める。

$$ \begin{pmatrix} a & 1 \\ b & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} a & 1 \\ b & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ c \end{pmatrix} $$

よって、$A(a, b)$、$B(1, c)$ である。

$\triangle OAB$ の面積は $\dfrac{1}{2}$ であるから、原点 $O$ と $A, B$ を頂点とする三角形の面積公式より

$$ \frac{1}{2} |a \cdot c - 1 \cdot b| = \frac{1}{2} $$

$$ |ac - b| = 1 $$

これに $a = -1$ を代入すると、

$$ |-c - b| = 1 \iff |b + c| = 1 $$

したがって、$b + c = 1$ または $b + c = -1$ である。

(ア) $b + c = 1$ のとき

② より $b + 2c = 2$ であるから、連立方程式

$$ \begin{cases} b + c = 1 \\ b + 2c = 2 \end{cases} $$

を解く。下の式から上の式を引くと $c = 1$。$b + 1 = 1$ より $b = 0$。

(イ) $b + c = -1$ のとき

② より $b + 2c = 2$ であるから、連立方程式

$$ \begin{cases} b + c = -1 \\ b + 2c = 2 \end{cases} $$

を解く。下の式から上の式を引くと $c = 3$。$b + 3 = -1$ より $b = -4$。

以上より、求める $a, b, c$ の値の組は、

$$ (a, b, c) = (-1, 0, 1) \quad \text{または} \quad (-1, -4, 3) $$

解説

行列を用いた1次変換の基本を問う問題である。条件(i)は行列の積の定義に従って計算するだけで $a$ が確定し、$b, c$ の関係式が1つ得られる。条件(ii)について、基本ベクトル $(1, 0), (0, 1)$ を移した点は、それぞれ変換行列の第1列・第2列そのものになるという性質を知っていると、計算せずとも $A(a, b), B(1, c)$ と即答できる。

面積公式 $\dfrac{1}{2}|x_1 y_2 - x_2 y_1|$ を用いると絶対値がつくため、場合分けが生じることに注意する。行列の行列式（$\det M = ac - b$）の絶対値が面積の拡大率を表すという性質（$|\det M| = \dfrac{\triangle OAB \text{ の面積}}{\text{元の三角形の面積}}$）を用いても、全く同じ絶対値の方程式を立てることができる。