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九州大学 1965年文系第6問解説

方針・初手

2つの図形の方程式 $f(x, y) = 0$ と $g(x, y) = 0$ に対して、$f(x, y) + kg(x, y) = 0$ は、2つの図形の交点を通る図形（円束）を表すという性質を利用する。まずは与えられた2つの円が実際に交点を持つかを確認したうえで、どのような図形になるかを記述する。中心の軌跡については、与式を $x$、$y$ について平方完成して中心の座標を $k$ で表し、媒介変数 $k$ を消去して $x$ と $y$ の関係式を導く。その際、$k$ のとりうる値の範囲から生じる軌跡の除外点に注意する。

解法1

与えられた方程式は、次のように書ける。

$$(x^2 + y^2 - 2x - 3) + k(x^2 + y^2 - 4x - 2y + 4) = 0 \quad \cdots ①$$

ここで、$x^2+y^2-2x-3=0$ と $x^2+y^2-4x-2y+4=0$ はそれぞれ円を表し、平方完成すると以下のようになる。

$$\begin{aligned} (x-1)^2 + y^2 &= 4 \quad \text{（中心 $(1, 0)$，半径 $2$）} \cdots ② \\ (x-2)^2 + (y-1)^2 &= 1 \quad \text{（中心 $(2, 1)$，半径 $1$）} \cdots ③ \end{aligned}$$

2円 ②、③ の中心間の距離 $d$ は $d = \sqrt{(2-1)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{2}$ である。半径の差は $2-1=1$、半径の和は $2+1=3$ であり、$1 < d < 3$ が成り立つため、これら2つの円は異なる2点で交わる。

恒等式の性質から、方程式 ① は2円 ②、③ の交点を通る図形を表す。 $k \neq -1$ であるため、① を展開したときの $x^2$ と $y^2$ の係数 $1+k$ は $0$ にならない。したがって、① は円を表す。また、① は $k$ にどのような実数を代入しても、円 ③ そのものを表すことはできない。よって、① が表すのは「2円 $x^2+y^2-2x-3=0$ と $x^2+y^2-4x-2y+4=0$ の2交点を通る円（ただし、円 $x^2+y^2-4x-2y+4=0$ を除く）」である。

次に、中心の軌跡を求める。① を展開して整理すると、

$$(k+1)x^2 + (k+1)y^2 - 2(2k+1)x - 2ky + 4k - 3 = 0$$

$k \neq -1$ より $k+1 \neq 0$ であるから、両辺を $k+1$ で割ると、

$$x^2 + y^2 - 2 \cdot \frac{2k+1}{k+1}x - \frac{2k}{k+1}y + \frac{4k-3}{k+1} = 0$$

これを平方完成して中心の座標を求める。

$$\left( x - \frac{2k+1}{k+1} \right)^2 + \left( y - \frac{k}{k+1} \right)^2 = \left( \frac{2k+1}{k+1} \right)^2 + \left( \frac{k}{k+1} \right)^2 - \frac{4k-3}{k+1}$$

この円の中心を $(X, Y)$ とおくと、

$$\begin{cases} X = \frac{2k+1}{k+1} \\ Y = \frac{k}{k+1} \end{cases}$$

第2式より、$Y = \frac{k+1-1}{k+1} = 1 - \frac{1}{k+1}$ と変形できる。 $k$ は $-1$ 以外のすべての実数値をとるため、$\frac{1}{k+1} \neq 0$ であり、$Y \neq 1$ である。第2式を $k$ について解くと、

$$Y(k+1) = k \iff k(1-Y) = Y \iff k = \frac{Y}{1-Y}$$

これを第1式に代入して $k$ を消去する。

$$X = \frac{2\left( \frac{Y}{1-Y} \right) + 1}{\frac{Y}{1-Y} + 1} = \frac{2Y + (1 - Y)}{Y + (1 - Y)} = Y + 1$$

したがって、$X - Y - 1 = 0$ が得られる。 $Y \neq 1$ であるから、求める軌跡の方程式は直線 $x - y - 1 = 0$ のうち $y=1$（このとき $x=2$）となる点を除いた部分である。

解法2

軌跡の方程式に関する別解を示す。

$k \neq -1$ において、与えられた方程式は2円の交点を通る円を表す。一般に、2つの円の交点を通る円群の中心は、もとの2円の中心を通る直線上に存在する。

もとの2円の中心は、解法1で求めた通り $A(1, 0)$ と $B(2, 1)$ である。これらの2点を通る直線の方程式は、

$$y - 0 = \frac{1 - 0}{2 - 1} (x - 1) \iff x - y - 1 = 0$$

となる。与えられた方程式は円 $B$ 自身を表すことはできないため、円群の中心が点 $B(2, 1)$ になることはない。よって、求める中心の軌跡の方程式は $x - y - 1 = 0$（ただし点 $(2, 1)$ を除く）となる。

解説

「円束（えんそく）」と呼ばれる頻出テーマである。 $f(x, y) + kg(x, y) = 0$ という形の方程式は、基本的には $f(x, y) = 0$ と $g(x, y) = 0$ の交点を通る図形を表す。このとき、$k=-1$ であれば $x^2$ と $y^2$ の項が消えて2円の交点を通る「直線（根軸）」を表し、$k \neq -1$ であれば「円」を表す。本問では軌跡における「除外点」の扱いが重要になる。式から $k$ を消去する際に分母が $0$ にならない条件から除外点を見つけることができるが、解法2のように図形的な性質（円群の中心は、もとの2円の中心を通る直線上にある）から考えることで、直感的に除外点（表せない円の中心）を特定でき、計算量も大幅に抑えることができる。