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九州大学 1965年文系第7問解説

方針・初手

(1) は三角関数の定積分である。被積分関数を展開し、半角の公式や積和の公式を用いて、積分しやすい次数が1の形に変形する。

(2) は無限級数の和である。一般項が分数の形をしているため、部分分数分解を利用して途中が打ち消し合う形を作り、第 $n$ 項までの部分和を求めてから極限をとる。

解法1

(1)

与えられた定積分を $I$ とおく。

$$I = \int_0^\pi (3\sin x + \cos 2x)^2 dx$$

被積分関数を展開する。

$$(3\sin x + \cos 2x)^2 = 9\sin^2 x + 6\sin x \cos 2x + \cos^2 2x$$

それぞれの項を積分できる形に変形する。半角の公式より、

$$9\sin^2 x = 9 \cdot \frac{1 - \cos 2x}{2} = \frac{9}{2} - \frac{9}{2}\cos 2x$$

$$\cos^2 2x = \frac{1 + \cos 4x}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos 4x$$

積和の公式より、

$$\begin{aligned} 6\sin x \cos 2x &= 6 \cdot \frac{1}{2} \{ \sin(x + 2x) + \sin(x - 2x) \} \\ &= 3 \{ \sin 3x + \sin(-x) \} \\ &= 3(\sin 3x - \sin x) \end{aligned}$$

これらを積分に代入する。

$$\begin{aligned} I &= \int_0^\pi \left( \frac{9}{2} - \frac{9}{2}\cos 2x + 3\sin 3x - 3\sin x + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos 4x \right) dx \\ &= \int_0^\pi \left( 5 - \frac{9}{2}\cos 2x - 3\sin x + 3\sin 3x + \frac{1}{2}\cos 4x \right) dx \end{aligned}$$

積分を実行する。

$$\begin{aligned} I &= \left[ 5x - \frac{9}{4}\sin 2x + 3\cos x - \cos 3x + \frac{1}{8}\sin 4x \right]_0^\pi \\ &= \left( 5\pi - 0 + 3(-1) - (-1) + 0 \right) - \left( 0 - 0 + 3(1) - (1) + 0 \right) \\ &= (5\pi - 3 + 1) - (3 - 1) \\ &= (5\pi - 2) - 2 \\ &= 5\pi - 4 \end{aligned}$$

(2)

求める無限級数の一般項 $a_n$ は、

$$a_n = \frac{1}{4n^2 - 1} = \frac{1}{(2n - 1)(2n + 1)}$$

である。これを部分分数分解する。

$$\frac{1}{(2n - 1)(2n + 1)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2n - 1} - \frac{1}{2n + 1} \right)$$

第 $n$ 項までの部分和を $S_n$ とすると、

$$\begin{aligned} S_n &= \sum_{k=1}^n \frac{1}{(2k - 1)(2k + 1)} \\ &= \frac{1}{2} \sum_{k=1}^n \left( \frac{1}{2k - 1} - \frac{1}{2k + 1} \right) \\ &= \frac{1}{2} \left\{ \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{2n - 1} - \frac{1}{2n + 1} \right) \right\} \end{aligned}$$

途中の項が互いに打ち消し合い、最初と最後の項だけが残る。

$$S_n = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{2n + 1} \right)$$

無限級数の和は、この部分和の $n \to \infty$ における極限である。

$$\begin{aligned} \lim_{n \to \infty} S_n &= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{2n + 1} \right) \\ &= \frac{1}{2} (1 - 0) \\ &= \frac{1}{2} \end{aligned}$$

解説

(1) は三角関数の積分の基本問題である。$\sin^2 x$ や $\cos^2 2x$ のような偶数乗の項は半角の公式（倍角の公式の変形）を用いて次数を下げるのが定石である。また、$\sin x \cos 2x$ のような異なる角度の三角関数の積は、積和の公式を用いて和や差の形に直すことで積分が容易になる。

(2) は「部分分数分解を利用する無限級数」の典型問題である。分母が積の形になっている場合に差の形に分解することで、部分和を計算した際に中間項が次々と消去される（テレスコーピング和）。無限級数の和を求める際は、必ず第 $n$ 項までの部分和 $S_n$ を求めてから $n \to \infty$ の極限をとる手順を踏むことが重要である。