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九州大学 1976年文系第2問解説

方針・初手

すべての自然数 $n$ についての不等式証明なので、数学的帰納法を用いるのが自然である。帰納法のステップにおいて、$a_{k+1}$ と $\sqrt{c}$ の大小関係を示す際、差をとって因数分解するアプローチか、漸化式を関数とみなしてその値域を考えるアプローチが有効である。

解法1

数学的帰納法によって証明する。

[1] $n=1$ のとき

$a_1 = 0$ であり、$0 \leqq c \leqq 1$ であるから $0 \leqq \sqrt{c}$ が成り立つ。したがって、$0 \leqq a_1 \leqq \sqrt{c}$ は成立する。

[2] $n=k$ （$k$ は自然数）のとき成立すると仮定する。

すなわち、$0 \leqq a_k \leqq \sqrt{c}$ が成り立つと仮定する。

このとき、$n=k+1$ について考える。漸化式より、

$$a_{k+1} = a_k + \frac{1}{2}(c - a_k^2)$$

まず、$a_{k+1} \geqq 0$ について。帰納法の仮定 $0 \leqq a_k \leqq \sqrt{c}$ より、$a_k \geqq 0$ であり、かつ $a_k^2 \leqq c$ すなわち $c - a_k^2 \geqq 0$ である。したがって、

$$a_{k+1} = a_k + \frac{1}{2}(c - a_k^2) \geqq 0$$

が成り立つ。

次に、$a_{k+1} \leqq \sqrt{c}$ について。 $\sqrt{c}$ と $a_{k+1}$ の差をとると、

$$\begin{aligned} \sqrt{c} - a_{k+1} &= \sqrt{c} - \left\{ a_k + \frac{1}{2}(c - a_k^2) \right\} \\ &= (\sqrt{c} - a_k) - \frac{1}{2}(c - a_k^2) \\ &= (\sqrt{c} - a_k) - \frac{1}{2}(\sqrt{c} - a_k)(\sqrt{c} + a_k) \\ &= (\sqrt{c} - a_k) \left\{ 1 - \frac{1}{2}(\sqrt{c} + a_k) \right\} \end{aligned}$$

帰納法の仮定より $a_k \leqq \sqrt{c}$ であるから、$\sqrt{c} - a_k \geqq 0$ である。さらに、条件 $0 \leqq c \leqq 1$ より $0 \leqq \sqrt{c} \leqq 1$ であるから、

$$\sqrt{c} + a_k \leqq \sqrt{c} + \sqrt{c} = 2\sqrt{c} \leqq 2 \cdot 1 = 2$$

となる。これより、

$$\frac{1}{2}(\sqrt{c} + a_k) \leqq 1$$

すなわち

$$1 - \frac{1}{2}(\sqrt{c} + a_k) \geqq 0$$

が成り立つ。したがって、

$$\sqrt{c} - a_{k+1} = (\sqrt{c} - a_k) \left\{ 1 - \frac{1}{2}(\sqrt{c} + a_k) \right\} \geqq 0$$

となり、$a_{k+1} \leqq \sqrt{c}$ が成り立つ。

以上より、$n=k+1$ のときも $0 \leqq a_{k+1} \leqq \sqrt{c}$ が成立する。

[1], [2] より、すべての自然数 $n$ に対して $0 \leqq a_n \leqq \sqrt{c}$ が成り立つ。

解法2

漸化式を関数とみなして証明する。

関数 $f(x)$ を $f(x) = x + \frac{1}{2}(c - x^2)$ とおく。すべての自然数 $n$ に対して、$a_{n+1} = f(a_n)$ が成り立つ。

$f(x)$ を平方完成すると、

$$\begin{aligned} f(x) &= -\frac{1}{2}x^2 + x + \frac{1}{2}c \\ &= -\frac{1}{2}(x - 1)^2 + \frac{1}{2}c + \frac{1}{2} \end{aligned}$$

放物線 $y = f(x)$ は上に凸であり、軸は $x=1$ である。ここで、区間 $0 \leqq x \leqq \sqrt{c}$ における $f(x)$ の値域を考える。条件 $0 \leqq c \leqq 1$ より $0 \leqq \sqrt{c} \leqq 1$ であるから、この区間は軸 $x=1$ の左側に位置する。したがって、$f(x)$ は区間 $0 \leqq x \leqq \sqrt{c}$ において単調に増加する。

端点の値を調べると、

$$f(0) = \frac{1}{2}c$$

$$f(\sqrt{c}) = \sqrt{c} + \frac{1}{2}(c - c) = \sqrt{c}$$

$c \geqq 0$ より $f(0) \geqq 0$ であるから、区間 $0 \leqq x \leqq \sqrt{c}$ において

$$0 \leqq f(x) \leqq \sqrt{c}$$

が成り立つ。すなわち、$0 \leqq a_n \leqq \sqrt{c}$ であれば、自動的に $0 \leqq f(a_n) \leqq \sqrt{c}$ つまり $0 \leqq a_{n+1} \leqq \sqrt{c}$ が成り立つ。

これを用いて、数学的帰納法で示す。

[1] $n=1$ のとき

$a_1 = 0$ であり、$0 \leqq c \leqq 1$ より $0 \leqq \sqrt{c}$ だから、$0 \leqq a_1 \leqq \sqrt{c}$ は成立する。

[2] $n=k$ のとき成立すると仮定する。

すなわち、$0 \leqq a_k \leqq \sqrt{c}$ が成り立つと仮定する。

先ほどの考察より、$0 \leqq x \leqq \sqrt{c}$ ならば $0 \leqq f(x) \leqq \sqrt{c}$ であるから、$x = a_k$ を代入して、

$$0 \leqq f(a_k) \leqq \sqrt{c}$$

すなわち

$$0 \leqq a_{k+1} \leqq \sqrt{c}$$

となり、$n=k+1$ のときも成立する。

[1], [2] より、すべての自然数 $n$ に対して $0 \leqq a_n \leqq \sqrt{c}$ が成り立つことが示された。

解説

自然数 $n$ に関する命題であるため、数学的帰納法を用いるのが定石である。帰納法のステップで不等式を示す際、解法1のように素直に差をとって式変形を行う方法と、解法2のように漸化式を関数 $f(x)$ とみて、その増減を利用する方法がある。

漸化式 $a_{n+1} = f(a_n)$ において、関数 $f(x)$ がある区間で単調増加であることを示すと、大小関係がそのまま次項に引き継がれるため、記述が非常に見通しよくなる。本問のように $c \leqq 1$ という条件が効いて軸 $x=1$ 以下に制限されるという構造に気づければ、解法2の手法が強力である。