九州大学 1976年 文系 第1問 解説

方針・初手

(1) は、与えられた $\overrightarrow{OA'}$ と $\overrightarrow{OB'}$ の式を連立方程式とみなし、$\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OB}$ をそれぞれ $\overrightarrow{OA'}$ と $\overrightarrow{OB'}$ で表す。それを $\overrightarrow{OC} = s\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB}$ に代入することで、目的の式を得る。

(2) は、「点が直線上にある条件」を利用する。点 $C$ が直線 $AB$ 上にあることから係数の和 $s+t=1$ が導かれ、点 $C$ が直線 $A'B'$ 上にあることから (1) で求めた式の係数の和が $1$ になることが導かれる。これらを連立させて $s, t$ を求める。

解法1

(1)

条件より、

$$\overrightarrow{OA'} = \overrightarrow{OA} + 2\overrightarrow{OB} \quad \cdots \text{①}$$

$$\overrightarrow{OB'} = 3\overrightarrow{OA} + 7\overrightarrow{OB} \quad \cdots \text{②}$$

$\text{①} \times 3 - \text{②}$ を計算すると、

$$3\overrightarrow{OA'} - \overrightarrow{OB'} = 3(\overrightarrow{OA} + 2\overrightarrow{OB}) - (3\overrightarrow{OA} + 7\overrightarrow{OB})$$

$$3\overrightarrow{OA'} - \overrightarrow{OB'} = -\overrightarrow{OB}$$

よって、

$$\overrightarrow{OB} = -3\overrightarrow{OA'} + \overrightarrow{OB'} \quad \cdots \text{③}$$

次に、$\text{①} \times 7 - \text{②} \times 2$ を計算すると、

$$7\overrightarrow{OA'} - 2\overrightarrow{OB'} = 7(\overrightarrow{OA} + 2\overrightarrow{OB}) - 2(3\overrightarrow{OA} + 7\overrightarrow{OB})$$

$$7\overrightarrow{OA'} - 2\overrightarrow{OB'} = \overrightarrow{OA}$$

よって、

$$\overrightarrow{OA} = 7\overrightarrow{OA'} - 2\overrightarrow{OB'} \quad \cdots \text{④}$$

③、④を $\overrightarrow{OC} = s\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB}$ に代入して整理すると、

$$\overrightarrow{OC} = s(7\overrightarrow{OA'} - 2\overrightarrow{OB'}) + t(-3\overrightarrow{OA'} + \overrightarrow{OB'})$$

$$\overrightarrow{OC} = (7s - 3t)\overrightarrow{OA'} + (-2s + t)\overrightarrow{OB'}$$

(2)

点 $C$ は直線 $AB$ 上にあるため、$\overrightarrow{OC} = s\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB}$ における係数の和は $1$ である。よって、

$$s + t = 1 \quad \cdots \text{⑤}$$

また、点 $C$ は直線 $A'B'$ 上にもあるため、(1) で求めた $\overrightarrow{OC} = (7s - 3t)\overrightarrow{OA'} + (-2s + t)\overrightarrow{OB'}$ における係数の和も $1$ になる。よって、

$$(7s - 3t) + (-2s + t) = 1$$

整理すると、

$$5s - 2t = 1 \quad \cdots \text{⑥}$$

⑤より $t = 1 - s$ となり、これを⑥に代入する。

$$5s - 2(1 - s) = 1$$

$$5s - 2 + 2s = 1$$

$$7s = 3$$

$$s = \frac{3}{7}$$

これを $t = 1 - s$ に代入して、

$$t = 1 - \frac{3}{7} = \frac{4}{7}$$

解説

ベクトルの一次独立性を背景とした、交点の位置ベクトルを求める典型問題である。

(1) は実質的に連立一次方程式を解く作業である。逆行列の概念を知っていると見通しが良くなるが、通常の加減法を用いて丁寧に処理すれば問題ない。

(2) は「異なる2点 $P, Q$ を通る直線上の点 $R$ の位置ベクトルは、$\overrightarrow{OR} = (1-k)\overrightarrow{OP} + k\overrightarrow{OQ}$ と表せる（係数の和が $1$）」という基本性質を、直線 $AB$ と直線 $A'B'$ の両方に対して適用する。基準となるベクトル（今回は $\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}$ と $\overrightarrow{OA'}, \overrightarrow{OB'}$）を切り替えても、同じ性質が成り立つことを確認する良問である。

答え

(1)

$$\overrightarrow{OC} = (7s - 3t)\overrightarrow{OA'} + (-2s + t)\overrightarrow{OB'}$$

(2)

$$s = \frac{3}{7}, \quad t = \frac{4}{7}$$