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大阪大学 2001年理系第5問解説

方針・初手

（1）は不等式の証明として、基本的な数学的帰納法を用いる。証明の中で $a_k$ の和の条件や非負である条件を適切に用いる。

（2）は（1）の証明の過程（帰納法のステップ部分）に着目し、$b_{n+1}-c_{n+1}$ を $b_n-c_n$ を用いて表すことで等号成立条件を調べる。

（3）は $b_3$ と $c_3$ の関係を（1）と極限の条件から絞り込み、（2）の結果を連鎖的に適用して数列の各項を決定する。

解法1

(1)

数学的帰納法により示す。

[1] $n=1$ のとき、

$$ b_1 = 1-a_1, \quad c_1 = 1-a_1 $$

であるから、$b_1 \geqq c_1$ は等号で成立する。

[2] $n=k$ ($k \geqq 1$) のとき、$b_k \geqq c_k$ が成り立つと仮定する。

$n=k+1$ のときを考えると、

$$ b_{k+1} - c_{k+1} = b_k(1-a_{k+1}) - \left\{1 - \sum_{i=1}^{k+1} a_i\right\} $$

帰納法の仮定より $b_k \geqq c_k = 1 - \sum_{i=1}^k a_i$ である。

また、条件 $\sum_{n=1}^\infty a_n = \frac{1}{2}$ と各項が $a_n \geqq 0$ であることから、すべての自然数 $m$ について $0 \leqq a_m \leqq \frac{1}{2}$ である。

よって $1 - a_{k+1} > 0$ であるから、

$$ \begin{aligned} b_{k+1} - c_{k+1} &\geqq \left(1 - \sum_{i=1}^k a_i\right)(1-a_{k+1}) - \left(1 - \sum_{i=1}^{k+1} a_i\right) \\ &= 1 - a_{k+1} - \sum_{i=1}^k a_i + \left(\sum_{i=1}^k a_i\right)a_{k+1} - 1 + \sum_{i=1}^k a_i + a_{k+1} \\ &= \left(\sum_{i=1}^k a_i\right)a_{k+1} \end{aligned} $$

ここで、$a_i \geqq 0$ であるから $\sum_{i=1}^k a_i \geqq 0$ かつ $a_{k+1} \geqq 0$ となり、

$$ \left(\sum_{i=1}^k a_i\right)a_{k+1} \geqq 0 $$

したがって、$b_{k+1} - c_{k+1} \geqq 0$ すなわち $b_{k+1} \geqq c_{k+1}$ が成り立つ。

[1], [2] より、すべての自然数 $n$ に対して不等式 $b_n \geqq c_n$ が成り立つ。

(2)

（1）の証明過程より、

$$ \begin{aligned} b_{n+1} - c_{n+1} &= b_n(1-a_{n+1}) - (c_n - a_{n+1}) \\ &= (b_n - c_n + c_n)(1-a_{n+1}) - c_n + a_{n+1} \\ &= (b_n - c_n)(1-a_{n+1}) + c_n - c_n a_{n+1} - c_n + a_{n+1} \\ &= (b_n - c_n)(1-a_{n+1}) + a_{n+1}(1 - c_n) \end{aligned} $$

ここで、$c_n = 1 - \sum_{i=1}^n a_i$ であるから $1 - c_n = \sum_{i=1}^n a_i$ となり、

$$ b_{n+1} - c_{n+1} = (b_n - c_n)(1-a_{n+1}) + a_{n+1}\sum_{i=1}^n a_i $$

と変形できる。

いま、$b_{n+1} = c_{n+1}$ が成り立つとする。

（1）より $b_n - c_n \geqq 0$ であり、$1-a_{n+1} > 0$ であるから $(b_n - c_n)(1-a_{n+1}) \geqq 0$ である。

また、$a_{n+1} \geqq 0$ および $\sum_{i=1}^n a_i \geqq 0$ より $a_{n+1}\sum_{i=1}^n a_i \geqq 0$ である。

2つの非負の実数の和が $0$ になるため、それぞれが $0$ でなければならない。

よって、

$$ (b_n - c_n)(1-a_{n+1}) = 0 $$

$1-a_{n+1} \neq 0$ より $b_n - c_n = 0$ となる。

したがって、$b_n = c_n$ が示された。

(3)

条件より $\sum_{n=1}^\infty a_n = \frac{1}{2}$ と $a_n \geqq 0$ であることから、

$$ a_1+a_2+a_3 \leqq \sum_{n=1}^\infty a_n = \frac{1}{2} $$

したがって、

$$ c_3 = 1 - (a_1+a_2+a_3) \geqq 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} $$

一方で、（1）より $b_3 \geqq c_3$ である。

仮定より $b_3 = \frac{1}{2}$ であるため、

$$ \frac{1}{2} = b_3 \geqq c_3 \geqq \frac{1}{2} $$

これより、$c_3 = \frac{1}{2}$ でなければならない。（証明終）

このとき、$b_3 = c_3$ が成り立つため、（2）の結果を繰り返し用いると、

$$ b_3 = c_3 \implies b_2 = c_2 \implies b_1 = c_1 $$

が成り立つ。

（2）の証明で得た式 $b_{n+1} - c_{n+1} = (b_n - c_n)(1-a_{n+1}) + a_{n+1}\sum_{i=1}^n a_i$ を用いる。

$n=2$ のとき、$b_3=c_3$ および $b_2=c_2$ より、

$$ a_3(a_1+a_2) = 0 $$

$n=1$ のとき、$b_2=c_2$ および $b_1=c_1$ より、

$$ a_2 a_1 = 0 $$

これらから、$(a_1, a_2, a_3)$ のうち少なくとも2つは $0$ である。

さらに、$c_3 = \frac{1}{2}$ より

$$ 1 - (a_1+a_2+a_3) = \frac{1}{2} \iff a_1+a_2+a_3 = \frac{1}{2} $$

であるから、$(a_1, a_2, a_3)$ の組み合わせは以下の3通りに限られる。

$$ (a_1, a_2, a_3) = \left(\frac{1}{2}, 0, 0\right), \left(0, \frac{1}{2}, 0\right), \left(0, 0, \frac{1}{2}\right) $$

また、$a_1+a_2+a_3 = \frac{1}{2}$ と $\sum_{n=1}^\infty a_n = \frac{1}{2}$、および $a_n \geqq 0$ より、すべての $n \geqq 4$ に対して $a_n = 0$ でなければならない。

よって、条件を満たす数列 $\{a_n\}$ は上の $(a_1, a_2, a_3)$ に対応する以下の3種類のみである。

第1項が $\frac{1}{2}$ で、それ以外の項がすべて $0$ の数列
第2項が $\frac{1}{2}$ で、それ以外の項がすべて $0$ の数列
第3項が $\frac{1}{2}$ で、それ以外の項がすべて $0$ の数列

解説

不等式の証明に端を発し、等号成立条件を利用して数列そのものを決定する論理展開の美しい問題である。（1）で $b_n \geqq c_n$ を示す際、$(1-a_{k+1})$ が正であることを級数の条件からしっかり言及することが重要である。また、（2）において「非負の和が0」となる性質を用いて各項が0であることを導く処理は、等号成立条件の議論における定石である。（3）は全体を俯瞰し、不等式の両側からの挟み撃ち（$b_3 \geqq c_3$ と $c_3 \geqq \frac{1}{2}$）によって $b_3=c_3$ を特定する。