九州大学 1986年 文系 第5問 解説

方針・初手

• 1回の試行で赤球が出る（$+1$ が記録される）確率と白球が出る（$-1$ が記録される）確率を求める。
• (1) では、符号の変化が1回だけ起こる数列のパターンを具体的に考える。前半がすべて $+1$ で後半がすべて $-1$ の場合と、その逆の場合の2パターンがあるため、それぞれの確率を計算して足し合わせる。
• (2) では、「符号の変化が2回以上」の余事象が「符号の変化が0回または1回」であることに着目し、(1) の結果を利用して余事象の確率から求める。

解法1

1回の試行において、赤球を取り出し $+1$ が記録される確率を $p$、白球を取り出し $-1$ が記録される確率を $q$ とする。

$$p = \frac{2}{5}, \quad q = \frac{3}{5}$$

(1)

符号の変化が1回だけ起こる数列は、次の2つのパターンのいずれかである。

(i) 最初から $k$ 回 ($1 \leqq k \leqq n-1$) 連続して $+1$ が記録され、残りの $n-k$ 回は連続して $-1$ が記録される場合。

この確率は、

$$\sum_{k=1}^{n-1} p^k q^{n-k}$$

(ii) 最初から $k$ 回 ($1 \leqq k \leqq n-1$) 連続して $-1$ が記録され、残りの $n-k$ 回は連続して $+1$ が記録される場合。

この確率は、

$$\sum_{k=1}^{n-1} q^k p^{n-k}$$

求める確率 $P_n$ は、これら2つの排反な事象の確率の和である。

$$\begin{aligned} P_n &= \sum_{k=1}^{n-1} p^k q^{n-k} + \sum_{k=1}^{n-1} q^k p^{n-k} \\ &= q^n \sum_{k=1}^{n-1} \left(\frac{p}{q}\right)^k + p^n \sum_{k=1}^{n-1} \left(\frac{q}{p}\right)^k \end{aligned}$$

等比数列の和の公式を用いて計算する。

$$\sum_{k=1}^{n-1} \left(\frac{p}{q}\right)^k = \frac{\frac{p}{q} \left\{ 1 - \left(\frac{p}{q}\right)^{n-1} \right\}}{1 - \frac{p}{q}} = \frac{p(q^{n-1} - p^{n-1})}{q^{n-1}(q - p)}$$

$$\sum_{k=1}^{n-1} \left(\frac{q}{p}\right)^k = \frac{\frac{q}{p} \left\{ \left(\frac{q}{p}\right)^{n-1} - 1 \right\}}{\frac{q}{p} - 1} = \frac{q(q^{n-1} - p^{n-1})}{p^{n-1}(q - p)}$$

これらを $P_n$ の式に代入する。

$$\begin{aligned} P_n &= q^n \cdot \frac{p(q^{n-1} - p^{n-1})}{q^{n-1}(q - p)} + p^n \cdot \frac{q(q^{n-1} - p^{n-1})}{p^{n-1}(q - p)} \\ &= \frac{pq(q^{n-1} - p^{n-1})}{q - p} + \frac{pq(q^{n-1} - p^{n-1})}{q - p} \\ &= \frac{2pq(q^{n-1} - p^{n-1})}{q - p} \end{aligned}$$

ここで、$p = \frac{2}{5}, q = \frac{3}{5}$ を代入する。

$$pq = \frac{6}{25}, \quad q - p = \frac{1}{5}$$

$$\begin{aligned} P_n &= \frac{2 \cdot \frac{6}{25} \left\{ \left(\frac{3}{5}\right)^{n-1} - \left(\frac{2}{5}\right)^{n-1} \right\}}{\frac{1}{5}} \\ &= \frac{12}{5} \cdot \frac{3^{n-1} - 2^{n-1}}{5^{n-1}} \\ &= \frac{12 \cdot 3^{n-1} - 12 \cdot 2^{n-1}}{5^n} \\ &= \frac{4 \cdot 3^n - 6 \cdot 2^n}{5^n} \end{aligned}$$

(2)

符号の変化が2回以上起こる事象の余事象は、符号の変化が0回または1回起こる事象である。

符号の変化が0回起こる確率は、すべて $+1$ が記録されるか、すべて $-1$ が記録される確率の和である。

$$p^n + q^n = \left(\frac{2}{5}\right)^n + \left(\frac{3}{5}\right)^n = \frac{2^n + 3^n}{5^n}$$

符号の変化が1回起こる確率は、(1) で求めた $P_n$ である。

したがって、求める確率 $Q_n$ は、余事象の確率を利用して次のように計算できる。

$$\begin{aligned} Q_n &= 1 - (p^n + q^n + P_n) \\ &= 1 - \left( \frac{2^n + 3^n}{5^n} + \frac{4 \cdot 3^n - 6 \cdot 2^n}{5^n} \right) \\ &= 1 - \frac{-5 \cdot 2^n + 5 \cdot 3^n}{5^n} \\ &= 1 - \frac{3^n - 2^n}{5^{n-1}} \end{aligned}$$

解説

(1) は等比数列の和の計算を正確に行うことがポイントである。一般項の形を丁寧に書き下し、公比が $1$ でないことを確認してから公式を適用する。(2) は「〜以上」という条件から、定石通り余事象を考えることで計算量を大幅に減らすことができる。

答え

(1)

$$P_n = \frac{4 \cdot 3^n - 6 \cdot 2^n}{5^n}$$

(2)

$$Q_n = 1 - \frac{3^n - 2^n}{5^{n-1}}$$