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九州大学 1999年文系第7問解説

方針・初手

与えられた3つの数は、$a$ と $b$ についての次数がすべて1次となっている同次式である。このような場合は、全体を $b$（または $a$）で割り、文字の比 $t = \frac{a}{b}$ を用いて1変数の問題に帰着させるのが定石である。

ルートや3乗根を含む式の大小比較は、差をとって符号を調べるか、あるいは正であることを確認したうえで2乗・3乗して比較する。

解法1

3つの数をそれぞれ $X, Y, Z$ とおく。

$$X = \frac{a+2b}{3}, \quad Y = \sqrt{ab}, \quad Z = \sqrt[3]{\frac{b(a^2+ab+b^2)}{3}}$$

$0 < a < b$ であるから、$b > 0$ である。それぞれの数を $b$ で割ると、以下のようになる。

$$\frac{X}{b} = \frac{\frac{a}{b}+2}{3}$$

$$\frac{Y}{b} = \sqrt{\frac{a}{b}}$$

$$\frac{Z}{b} = \sqrt[3]{\frac{\left(\frac{a}{b}\right)^2+\frac{a}{b}+1}{3}}$$

ここで、$t = \frac{a}{b}$ とおく。$0 < a < b$ より $0 < t < 1$ である。これを用いると、3つの式は $t$ を用いて次のように表される。

$$\frac{X}{b} = \frac{t+2}{3}, \quad \frac{Y}{b} = \sqrt{t}, \quad \frac{Z}{b} = \sqrt[3]{\frac{t^2+t+1}{3}}$$

(i) $X$ と $Y$ の比較

$\frac{X}{b}$ と $\frac{Y}{b}$ の差をとる。

$$\frac{X}{b} - \frac{Y}{b} = \frac{t+2}{3} - \sqrt{t} = \frac{t - 3\sqrt{t} + 2}{3}$$

分子について、$x = \sqrt{t}$ とおくと、$0 < t < 1$ より $0 < x < 1$ である。分子の式は2次式として因数分解できる。

$$t - 3\sqrt{t} + 2 = x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2)$$

$0 < x < 1$ のとき、$x-1 < 0$ かつ $x-2 < 0$ であるから、$(x-1)(x-2) > 0$ となる。したがって、$\frac{X}{b} - \frac{Y}{b} > 0$ が成り立つ。

$$\frac{X}{b} > \frac{Y}{b}$$

$b > 0$ であるから、両辺に $b$ を掛けて $X > Y$ を得る。

(ii) $X$ と $Z$ の比較

$\frac{X}{b} > 0$ かつ $\frac{Z}{b} > 0$ であるから、それぞれの3乗の差をとって比較する。

$$\left(\frac{Z}{b}\right)^3 - \left(\frac{X}{b}\right)^3 = \frac{t^2+t+1}{3} - \left(\frac{t+2}{3}\right)^3$$

右辺を通分して整理する。

$$\begin{aligned} \frac{t^2+t+1}{3} - \frac{t^3+6t^2+12t+8}{27} &= \frac{9(t^2+t+1) - (t^3+6t^2+12t+8)}{27} \\ &= \frac{9t^2+9t+9 - t^3 - 6t^2 - 12t - 8}{27} \\ &= \frac{-t^3+3t^2-3t+1}{27} \\ &= \frac{-(t^3-3t^2+3t-1)}{27} \\ &= \frac{-(t-1)^3}{27} \end{aligned}$$

$0 < t < 1$ より $t-1 < 0$ であるから、$(t-1)^3 < 0$ となり、$-(t-1)^3 > 0$ である。したがって、$\left(\frac{Z}{b}\right)^3 - \left(\frac{X}{b}\right)^3 > 0$ が成り立つ。

$$\left(\frac{Z}{b}\right)^3 > \left(\frac{X}{b}\right)^3$$

$\frac{X}{b} > 0$ かつ $\frac{Z}{b} > 0$ より、$\frac{Z}{b} > \frac{X}{b}$ である。 $b > 0$ であるから、両辺に $b$ を掛けて $Z > X$ を得る。

(i), (ii) の結果から、$Y < X < Z$ となる。