九州大学 2011年 文系 第2問 解説

方針・初手

与えられた漸化式 $a_{n+1} = \frac{2a_n}{1 - a_n^2}$ の形が、正接の2倍角の公式 $\tan 2\theta = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}$ と一致することに着目する。

(1) は順に項を計算して規則性を見つけるか、一般項を三角関数で表して直接計算する。

(2) は $\frac{\pi}{6} = 2 \times \frac{\pi}{12}$ であることを利用して、2倍角の公式から方程式を立てる。

(3) は一般項を $\tan$ で表し、正接関数の周期性から条件を満たす $k$ を求める。

解法1

(1)

与えられた漸化式により順に計算する。

$$a_1 = \frac{1}{\sqrt{3}}$$

$$a_2 = \frac{2 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2} = \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac{2}{3}} = \sqrt{3}$$

$$a_3 = \frac{2\sqrt{3}}{1 - (\sqrt{3})^2} = \frac{2\sqrt{3}}{1 - 3} = -\sqrt{3}$$

$$a_4 = \frac{2(-\sqrt{3})}{1 - (-\sqrt{3})^2} = \frac{-2\sqrt{3}}{1 - 3} = \sqrt{3}$$

以上より、$n \geqq 2$ のとき、$n$ が偶数ならば $a_n = \sqrt{3}$、$n$ が奇数ならば $a_n = -\sqrt{3}$ となることが推測でき、これは漸化式より交互に値をとることから明らかである。

よって、$10$ は偶数、$11$ は奇数であるから、

$$a_{10} = \sqrt{3}, \quad a_{11} = -\sqrt{3}$$

(2)

$\tan \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ である。2倍角の公式により、

$$\tan \frac{\pi}{6} = \frac{2\tan \frac{\pi}{12}}{1 - \tan^2 \frac{\pi}{12}}$$

が成り立つ。ここで $t = \tan \frac{\pi}{12}$ とおく。$0 < \frac{\pi}{12} < \frac{\pi}{2}$ より $t > 0$ である。上の式に代入すると、

$$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{2t}{1 - t^2}$$

$$1 - t^2 = 2\sqrt{3}t$$

$$t^2 + 2\sqrt{3}t - 1 = 0$$

これを解くと、

$$t = -\sqrt{3} \pm \sqrt{3 + 1} = -\sqrt{3} \pm 2$$

$t > 0$ より $t = 2 - \sqrt{3}$ を得る。

よって、

$$\tan \frac{\pi}{12} = 2 - \sqrt{3}$$

(3)

与えられた漸化式 $a_{n+1} = \frac{2a_n}{1 - a_n^2}$ は、正接の2倍角の公式と同じ形をしている。

$a_1 = \tan \frac{\pi}{7}$ であるから、帰納的に一般項は以下のように表せる。

$$a_n = \tan \left( 2^{n-1} \cdot \frac{\pi}{7} \right)$$

$a_k = a_1$ となるとき、

$$\tan \left( \frac{2^{k-1}\pi}{7} \right) = \tan \frac{\pi}{7}$$

正接関数の周期は $\pi$ であるから、$m$ を整数として、

$$\frac{2^{k-1}\pi}{7} - \frac{\pi}{7} = m\pi$$

が成り立つ。両辺を $\pi$ で割り、整理すると、

$$\frac{2^{k-1} - 1}{7} = m$$

$$2^{k-1} - 1 = 7m$$

すなわち、$2^{k-1} - 1$ が $7$ の倍数となるような最小の自然数 $k \geqq 2$ を探せばよい。

$k = 2$ のとき、$2^1 - 1 = 1$ （$7$ の倍数ではない）

$k = 3$ のとき、$2^2 - 1 = 3$ （$7$ の倍数ではない）

$k = 4$ のとき、$2^3 - 1 = 7$ （$7$ の倍数である）

よって、求める最小の自然数は $k = 4$ である。

解法2

(1)の別解

漸化式の形と $a_1 = \frac{1}{\sqrt{3}} = \tan \frac{\pi}{6}$ より、一般項は $a_n = \tan \left( \frac{2^{n-1}\pi}{6} \right)$ と表せる。

$$a_{10} = \tan \left( \frac{2^9\pi}{6} \right) = \tan \left( \frac{512\pi}{6} \right) = \tan \left( \frac{256\pi}{3} \right)$$

ここで $\frac{256}{3} = 85 + \frac{1}{3}$ より $\frac{256\pi}{3} = 85\pi + \frac{\pi}{3}$ である。$\tan(\theta + m\pi) = \tan \theta$ （$m$は整数）より、

$$a_{10} = \tan \left( 85\pi + \frac{\pi}{3} \right) = \tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$$

同様に、

$$a_{11} = \tan \left( \frac{2^{10}\pi}{6} \right) = \tan \left( \frac{1024\pi}{6} \right) = \tan \left( \frac{512\pi}{3} \right)$$

ここで $\frac{512}{3} = 170 + \frac{2}{3}$ より $\frac{512\pi}{3} = 170\pi + \frac{2\pi}{3}$ であるから、

$$a_{11} = \tan \left( 170\pi + \frac{2\pi}{3} \right) = \tan \frac{2\pi}{3} = -\sqrt{3}$$

解説

漸化式 $a_{n+1} = \frac{2a_n}{1 - a_n^2}$ を見たら、正接（$\tan$）の2倍角の公式を連想することが最大のポイントである。

この形は非常によく出題される典型的な漸化式であり、$a_1 = \tan \theta$ と置くことで一般項が $a_n = \tan(2^{n-1}\theta)$ と求まる。

(1) は順に計算して周期性を見抜く方法（解法1）と、一般項から直接計算する方法（解法2）のどちらでも容易に解ける。

(3) の $\tan \alpha = \tan \beta \iff \alpha - \beta = m\pi$ （$m$は整数）という正接の同値変形も、三角関数の周期性を扱う上で重要な処理である。

答え

(1) $a_{10} = \sqrt{3}, \quad a_{11} = -\sqrt{3}$

(2) $\tan \frac{\pi}{12} = 2 - \sqrt{3}$

(3) $k = 4$