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九州大学 1972年理系第3問解説

方針・初手

だ円のパラメータ表示を用いた焦点距離の計算と、ベクトルの成分計算を行う問題である。 (1) 2点間の距離の公式を用いて $l$ および $l'$ を計算する。根号を外す際、絶対値記号がつくことに注意し、$\cos\theta$ のとりうる値の範囲から絶対値を外す。 (2) (1) で求めた成分から $|\vec{\alpha}|^2$ を計算し、$\cos\theta$ の式で表して比をとる。 (3) だ円の接線の方程式から接線の方向ベクトルを求め、$\vec{\alpha}$ との内積が $0$ になることを示す。

解法1

(1)

点 $P(5\cos\theta, 4\sin\theta)$ と焦点 $F(3, 0)$ の距離 $l$ は、

$$\begin{aligned} l &= \sqrt{(5\cos\theta - 3)^2 + (4\sin\theta - 0)^2} \\ &= \sqrt{25\cos^2\theta - 30\cos\theta + 9 + 16\sin^2\theta} \end{aligned}$$

$\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$ を代入して整理すると、

$$\begin{aligned} l &= \sqrt{25\cos^2\theta - 30\cos\theta + 9 + 16(1 - \cos^2\theta)} \\ &= \sqrt{9\cos^2\theta - 30\cos\theta + 25} \\ &= \sqrt{(3\cos\theta - 5)^2} \\ &= |3\cos\theta - 5| \end{aligned}$$

ここで、$-1 \leqq \cos\theta \leqq 1$ より $3\cos\theta - 5 < 0$ であるから、

$$l = -(3\cos\theta - 5) = 5 - 3\cos\theta$$

同様に、点 $P$ と焦点 $F'(-3, 0)$ の距離 $l'$ は、

$$\begin{aligned} l' &= \sqrt{(5\cos\theta + 3)^2 + (4\sin\theta - 0)^2} \\ &= \sqrt{25\cos^2\theta + 30\cos\theta + 9 + 16(1 - \cos^2\theta)} \\ &= \sqrt{9\cos^2\theta + 30\cos\theta + 25} \\ &= \sqrt{(3\cos\theta + 5)^2} \\ &= |3\cos\theta + 5| \end{aligned}$$

$-1 \leqq \cos\theta \leqq 1$ より $3\cos\theta + 5 > 0$ であるから、

$$l' = 3\cos\theta + 5$$

次に、$\overrightarrow{FP} = (5\cos\theta - 3, 4\sin\theta)$, $\overrightarrow{F'P} = (5\cos\theta + 3, 4\sin\theta)$ であるから、

$$\begin{aligned} \vec{\alpha} &= l' \overrightarrow{FP} + l \overrightarrow{F'P} \\ &= (3\cos\theta + 5) \begin{pmatrix} 5\cos\theta - 3 \\ 4\sin\theta \end{pmatrix} + (5 - 3\cos\theta) \begin{pmatrix} 5\cos\theta + 3 \\ 4\sin\theta \end{pmatrix} \end{aligned}$$

$x$ 成分は、

$$\begin{aligned} & (3\cos\theta + 5)(5\cos\theta - 3) + (5 - 3\cos\theta)(5\cos\theta + 3) \\ &= (15\cos^2\theta + 16\cos\theta - 15) + (-15\cos^2\theta + 16\cos\theta + 15) \\ &= 32\cos\theta \end{aligned}$$

$y$ 成分は、

$$\begin{aligned} & (3\cos\theta + 5)(4\sin\theta) + (5 - 3\cos\theta)(4\sin\theta) \\ &= \{(3\cos\theta + 5) + (5 - 3\cos\theta)\} \cdot 4\sin\theta \\ &= 10 \cdot 4\sin\theta \\ &= 40\sin\theta \end{aligned}$$

よって、$\vec{\alpha}$ の成分表示は、

$$\vec{\alpha} = (32\cos\theta, 40\sin\theta)$$

(2)

(1) の結果より、

$$\begin{aligned} |\vec{\alpha}|^2 &= (32\cos\theta)^2 + (40\sin\theta)^2 \\ &= 1024\cos^2\theta + 1600\sin^2\theta \\ &= 1024\cos^2\theta + 1600(1 - \cos^2\theta) \\ &= 1600 - 576\cos^2\theta \\ &= 64(25 - 9\cos^2\theta) \end{aligned}$$

一方、$ll'$ は、

$$\begin{aligned} ll' &= (5 - 3\cos\theta)(5 + 3\cos\theta) \\ &= 25 - 9\cos^2\theta \end{aligned}$$

したがって、求める値は、

$$\frac{|\vec{\alpha}|^2}{ll'} = \frac{64(25 - 9\cos^2\theta)}{25 - 9\cos^2\theta} = 64$$

となり、この値は $\theta$ に関係のない定数 $64$ であることが示された。

(3)

だ円 $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ 上の点 $P(5\cos\theta, 4\sin\theta)$ における接線の方程式は、

$$\frac{5\cos\theta}{25}x + \frac{4\sin\theta}{16}y = 1$$

すなわち、

$$\frac{\cos\theta}{5}x + \frac{\sin\theta}{4}y = 1$$

この直線の法線ベクトルの一つを $\vec{n}$ とすると、

$$\vec{n} = \left( \frac{\cos\theta}{5}, \frac{\sin\theta}{4} \right)$$

接線の方向ベクトルを $\vec{u}$ とすると、$\vec{n} \cdot \vec{u} = 0$ を満たすので、$\vec{u} = (-5\sin\theta, 4\cos\theta)$ とおける。

ここで、$\vec{\alpha}$ と接線の方向ベクトル $\vec{u}$ の内積を計算すると、

$$\begin{aligned} \vec{\alpha} \cdot \vec{u} &= (32\cos\theta)(-5\sin\theta) + (40\sin\theta)(4\cos\theta) \\ &= -160\sin\theta\cos\theta + 160\sin\theta\cos\theta \\ &= 0 \end{aligned}$$

$\vec{\alpha} = (32\cos\theta, 40\sin\theta)$ であり、これが $\vec{0}$ となるのは $\cos\theta = 0$ かつ $\sin\theta = 0$ のときであるが、これを満たす $\theta$ は存在しないため $\vec{\alpha} \neq \vec{0}$ である。同様に $\vec{u} \neq \vec{0}$ である。よって、$\vec{\alpha} \cdot \vec{u} = 0$ より $\vec{\alpha} \perp \vec{u}$ となり、$\vec{\alpha}$ は点 $P$ における①の接線と垂直であることが示された。

解説

だ円の焦点とだ円上の点を結ぶ線分（焦半径）の長さを求める典型問題である。計算過程で現れる $\sqrt{A^2}$ を $|A|$ として外し、変数の範囲から絶対値の中身の正負を判定する手順は頻出なので確実に押さえたい。

(3) の結果は、だ円の幾何学的な性質である「焦点 $F, F'$ からだ円上の点 $P$ に引いた2つの線分がなす角の二等分線は、点 $P$ における法線に一致する（光の反射の法則）」という事実を表している。 $\vec{\alpha} = ll' \left( \frac{\overrightarrow{FP}}{l} + \frac{\overrightarrow{F'P}}{l'} \right)$ と変形すると、括弧内は $\overrightarrow{FP}$ と $\overrightarrow{F'P}$ と同じ向きの単位ベクトルの和である。したがって、$\vec{\alpha}$ は $\angle F'PF$ の二等分線と平行なベクトル、すなわち点 $P$ における法線ベクトルと平行になることを意味している。