トップ› 九州大学› 1972年› 文系第2問

九州大学 1972年文系第2問解説

方針・初手

点 $P$ の座標と焦点 $F, F'$ の座標を用いて2点間の距離の公式を適用し、$PF$ と $PF'$ を $\cos\theta$ の式で表す。ルートを外す際、絶対値記号がつくことに注意し、$0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$ の条件から中身の符号を判定して絶対値を外す。その後、$PO^2 = PF \cdot PF'$ の関係式に代入し、$\theta$ についての三角方程式を解く。

解法1

点 $P(5\cos\theta, 4\sin\theta)$、焦点 $F(3, 0)$、$F'(-3, 0)$ について、線分 $PF$ の長さの2乗は2点間の距離の公式より

$$\begin{aligned} PF^2 &= (5\cos\theta - 3)^2 + (4\sin\theta - 0)^2 \\ &= 25\cos^2\theta - 30\cos\theta + 9 + 16\sin^2\theta \end{aligned}$$

$\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$ を代入して整理すると

$$\begin{aligned} PF^2 &= 25\cos^2\theta - 30\cos\theta + 9 + 16(1 - \cos^2\theta) \\ &= 9\cos^2\theta - 30\cos\theta + 25 \\ &= (3\cos\theta - 5)^2 \end{aligned}$$

条件 $0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$ より $0 \leqq \cos\theta \leqq 1$ であるから、$3\cos\theta - 5 < 0$ となる。したがって、ルートを外す際に符号が反転することに注意して

$$PF = \sqrt{(3\cos\theta - 5)^2} = |3\cos\theta - 5| = 5 - 3\cos\theta$$

同様に、線分 $PF'$ の長さの2乗は

$$\begin{aligned} PF'^2 &= (5\cos\theta + 3)^2 + (4\sin\theta - 0)^2 \\ &= 25\cos^2\theta + 30\cos\theta + 9 + 16(1 - \cos^2\theta) \\ &= 9\cos^2\theta + 30\cos\theta + 25 \\ &= (3\cos\theta + 5)^2 \end{aligned}$$

$0 \leqq \cos\theta \leqq 1$ より $3\cos\theta + 5 > 0$ であるから、

$$PF' = \sqrt{(3\cos\theta + 5)^2} = |3\cos\theta + 5| = 3\cos\theta + 5$$

次に、原点 $O(0, 0)$ と点 $P(5\cos\theta, 4\sin\theta)$ の距離の2乗 $PO^2$ を求める。

$$\begin{aligned} PO^2 &= (5\cos\theta)^2 + (4\sin\theta)^2 \\ &= 25\cos^2\theta + 16(1 - \cos^2\theta) \\ &= 9\cos^2\theta + 16 \end{aligned}$$

与えられた関係式 $PO^2 = PF \cdot PF'$ にそれぞれ代入すると

$$9\cos^2\theta + 16 = (5 - 3\cos\theta)(3\cos\theta + 5)$$

右辺を展開して整理する。

$$9\cos^2\theta + 16 = 25 - 9\cos^2\theta$$

$$18\cos^2\theta = 9$$

$$\cos^2\theta = \frac{1}{2}$$

条件 $0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$ より $\cos\theta \geqq 0$ であるから、

$$\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$$

これを満たす $\theta$ の値は

$$\theta = \frac{\pi}{4}$$

解法2

だ円の離心率と準線を用いて $PF, PF'$ を求める。

だ円 $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ は長軸の長さが $2 \times 5 = 10$、焦点が $(\pm 3, 0)$ である。離心率 $e$ は、 $e = \frac{3}{5}$ となる。また、準線は $x = \pm \frac{5}{e} = \pm \frac{25}{3}$ である。

点 $P(5\cos\theta, 4\sin\theta)$ の $x$ 座標は $x = 5\cos\theta$ である。点 $P$ と右側の準線 $x = \frac{25}{3}$ との距離を $d$ とすると、二次曲線の定義により $PF = ed$ が成り立つ。 $0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$ のとき $0 \leqq x \leqq 5$ であり、点 $P$ は準線 $x = \frac{25}{3}$ の左側にあるため、

$$PF = e \left( \frac{25}{3} - x \right) = \frac{3}{5} \left( \frac{25}{3} - 5\cos\theta \right) = 5 - 3\cos\theta$$

同様に、点 $P$ と左側の準線 $x = -\frac{25}{3}$ との距離を $d'$ とすると、$PF' = ed'$ が成り立つ。点 $P$ は準線 $x = -\frac{25}{3}$ の右側にあるため、

$$PF' = e \left( x - \left(-\frac{25}{3}\right) \right) = \frac{3}{5} \left( 5\cos\theta + \frac{25}{3} \right) = 3\cos\theta + 5$$

$PF, PF'$ が求まったため、これ以降は解法1と同様に $PO^2$ を求めて等式 $PO^2 = PF \cdot PF'$ に代入し、 $\theta = \frac{\pi}{4}$ を得る。

解説

だ円上の点と焦点との距離を求める典型的な問題である。解法1のように距離の公式を直接用いて $\cos\theta$ の2次式に整理し、完全平方式を作る方法が最も基本的である。この際、$\sqrt{A^2} = |A|$ となるため、絶対値の中身の正負を $\theta$ の定義域から正しく判定することが求められる。

一方、解法2のように離心率の定義を利用すると、複雑な2乗の計算を回避でき、計算ミスを減らすことができる。だ円上の点 $P(x,y)$ と焦点 $F, F'$ までの距離がそれぞれ $a - ex, a + ex$ （$a$ は長軸の半分、$e$ は離心率）と表せることは、公式として覚えておくと強力な武器になる。