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九州大学 1998年理系第3問解説

方針・初手

(1) は、媒介変数表示された曲線の長さの公式 $L = \int \sqrt{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2} dt$ を用いて計算する。
(2) は、点 $P$ における法線（接線と直交する直線）の方程式をベクトルを用いて表し、原点からの距離が最短となる点（法線と原点からの垂線の交点）の座標を求める。
(3) は、部分積分法を用いて計算する標準的な定積分である。
(4) は、$x$ と $y$ の増減を調べてグラフの概形を把握し、媒介変数積分によって面積を求める。(3) の結果もここで活用する。

解法1

(1)

与えられた $x = \sin t - t \cos t, \ y = \cos t + t \sin t$ を $t$ で微分する。

$$\frac{dx}{dt} = \cos t - (\cos t - t \sin t) = t \sin t$$

$$\frac{dy}{dt} = -\sin t + (\sin t + t \cos t) = t \cos t$$

これより、

$$\left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2 = (t \sin t)^2 + (t \cos t)^2 = t^2 (\sin^2 t + \cos^2 t) = t^2$$

となる。曲線 $C$ の長さを $L$ とすると、$0 \leqq t \leqq \pi$ において $t \geqq 0$ であるから、

$$L = \int_0^\pi \sqrt{t^2} dt = \int_0^\pi t dt = \left[ \frac{1}{2} t^2 \right]_0^\pi = \frac{\pi^2}{2}$$

(2)

$t > 0$ における点 $P$ での接ベクトルの向きは、

$$\left( \frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt} \right) = (t \sin t, t \cos t) = t (\sin t, \cos t)$$

であるから、$P$ における法線の方向ベクトルとして $\vec{n} = (\cos t, -\sin t)$ をとることができる。したがって、点 $P$ を通り $\vec{n}$ を方向ベクトルとする法線上の点 $Q$ の座標 $(X, Y)$ は、実数 $s$ を用いて

$$\begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sin t - t \cos t \\ \cos t + t \sin t \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} \cos t \\ -\sin t \end{pmatrix}$$

と表せる。直線上の点で原点からの距離が最短となるのは、線分 $OQ$ が直線と直交するとき、すなわち $\vec{OQ} \cdot \vec{n} = 0$ となるときである。

$$X \cos t - Y \sin t = 0$$

これに $X, Y$ を代入して整理する。

$$(\sin t \cos t - t \cos^2 t + s \cos^2 t) - (\cos t \sin t + t \sin^2 t - s \sin^2 t) = 0$$

$$-t (\cos^2 t + \sin^2 t) + s (\cos^2 t + \sin^2 t) = 0$$

これより $s = t$ となる。このとき、点 $Q$ の座標は

$$X = \sin t - t \cos t + t \cos t = \sin t$$

$$Y = \cos t + t \sin t - t \sin t = \cos t$$

となる。これは $t=0$ のときも成立する。 $0 \leqq t \leqq \pi$ であるから、$X^2 + Y^2 = \sin^2 t + \cos^2 t = 1$ かつ $X = \sin t \geqq 0$ となる。したがって、求める図形は原点を中心とする半径 $1$ の円のうち $x \geqq 0$ の部分（右半円）である。

(3)

部分積分法を用いて計算する。

$$\begin{aligned} \int_0^\pi t \sin 2t dt &= \int_0^\pi t \left( -\frac{1}{2} \cos 2t \right)' dt \\ &= \left[ -\frac{1}{2} t \cos 2t \right]_0^\pi - \int_0^\pi 1 \cdot \left( -\frac{1}{2} \cos 2t \right) dt \\ &= -\frac{\pi}{2} \cos 2\pi - 0 + \left[ \frac{1}{4} \sin 2t \right]_0^\pi \\ &= -\frac{\pi}{2} + 0 \\ &= -\frac{\pi}{2} \end{aligned}$$

(4)

(1) より、$\frac{dx}{dt} = t \sin t \geqq 0 \ (0 \leqq t \leqq \pi)$ であるため、$x$ は単調増加する。 $t=0$ のとき $(x, y) = (0, 1)$ であり、$t=\pi$ のとき $(x, y) = (\pi, -1)$ である。求める面積 $S$ は、曲線 $C$、$y$ 軸（$x=0$）、直線 $y=-1$ で囲まれる図形の面積であるため、

$$S = \int_0^\pi \{ y - (-1) \} dx$$

で与えられる。 $dx = t \sin t dt$ であり、積分区間は $x$ が $0$ から $\pi$ まで変化するとき、$t$ も $0$ から $\pi$ まで変化するため、

$$\begin{aligned} S &= \int_0^\pi (y + 1) \frac{dx}{dt} dt \\ &= \int_0^\pi (\cos t + t \sin t + 1) t \sin t dt \\ &= \int_0^\pi (t \sin t \cos t + t^2 \sin^2 t + t \sin t) dt \end{aligned}$$

各項を積分する。第1項は、(3) の結果を利用して、

$$\int_0^\pi t \sin t \cos t dt = \frac{1}{2} \int_0^\pi t \sin 2t dt = \frac{1}{2} \times \left( -\frac{\pi}{2} \right) = -\frac{\pi}{4}$$

第2項は、半角の公式と部分積分を用いて、

$$\begin{aligned} \int_0^\pi t^2 \sin^2 t dt &= \int_0^\pi t^2 \left( \frac{1 - \cos 2t}{2} \right) dt \\ &= \frac{1}{2} \int_0^\pi t^2 dt - \frac{1}{2} \int_0^\pi t^2 \cos 2t dt \\ &= \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{3} t^3 \right]_0^\pi - \frac{1}{2} \left( \left[ \frac{1}{2} t^2 \sin 2t \right]_0^\pi - \int_0^\pi t \sin 2t dt \right) \\ &= \frac{\pi^3}{6} - \frac{1}{2} \left( 0 - \left( -\frac{\pi}{2} \right) \right) \\ &= \frac{\pi^3}{6} - \frac{\pi}{4} \end{aligned}$$

第3項は、部分積分を用いて、

$$\begin{aligned} \int_0^\pi t \sin t dt &= \int_0^\pi t (-\cos t)' dt \\ &= \left[ -t \cos t \right]_0^\pi - \int_0^\pi 1 \cdot (-\cos t) dt \\ &= \pi - 0 + \left[ \sin t \right]_0^\pi \\ &= \pi \end{aligned}$$

以上より、求める面積 $S$ は

$$\begin{aligned} S &= -\frac{\pi}{4} + \left( \frac{\pi^3}{6} - \frac{\pi}{4} \right) + \pi \\ &= \frac{\pi^3}{6} + \frac{\pi}{2} \end{aligned}$$

解説

本問で扱っている曲線 $C$ は、単位円を糸の束に見立てて解いていく「インボリュート（伸開線）」と呼ばれる有名な曲線である。 (2) の結果は、インボリュート曲線の法線が常に元の円の接線になり、原点から下ろした垂線の足が元の円上の接点と一致するという幾何学的な性質を示している。この背景知識を持っていると、(2) の計算結果が $X^2+Y^2=1$ となることに確信を持てるだろう。 (4) の求積では、媒介変数のまま積分を実行する典型処理が求められる。展開して生じる各項に対して、部分積分や半角の公式を適切に適用し、(3) の誘導を無駄なく利用することが計算ミスを防ぐ鍵となる。