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東京工業大学 1970年理系第2問解説

方針・初手

(1) 焦点 $F$ を極とし、$x$ 軸の正の方向を始線とする極座標 $(r, \theta)$ を設定します。直交座標 $(x, y)$ との関係式 $x = r\cos\theta + ae$、$y = r\sin\theta$ をだ円の方程式に代入し、$r$ について解くことで極方程式を導きます。また、二次曲線の離心率と準線の関係を用いると計算を簡略化できます。

(2) (1)で求めた極方程式を用いて、$F$ を通る弦の長さを偏角 $\theta$ で表します。弦 $PQ$ と弦 $RS$ は直交するため、それぞれの端点の偏角は $\theta, \theta+\pi, \theta+\frac{\pi}{2}, \theta+\frac{3\pi}{2}$ と表せます。これらを極方程式に代入して計算を進めます。

解法1

(1) だ円の方程式 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ について、焦点が $(ae, 0)$ であることから、焦点の $x$ 座標は $\sqrt{a^2-b^2}$ です。したがって、$ae = \sqrt{a^2-b^2}$、すなわち $a^2e^2 = a^2 - b^2$ が成り立ちます。これを変形して $b^2 = a^2(1-e^2)$ となるため、だ円の方程式は次のように表せます。

$$ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{a^2(1-e^2)} = 1 $$

焦点 $F(ae, 0)$ を極とし、$x$ 軸の正の方向を始線とする極座標 $(r, \theta)$ をとります。だ円上の点 $(x, y)$ は極座標を用いて次のように表されます。

$$ \begin{cases} x = r\cos\theta + ae \\ y = r\sin\theta \end{cases} $$

これをだ円の方程式に代入します。

$$ \frac{(r\cos\theta + ae)^2}{a^2} + \frac{r^2\sin^2\theta}{a^2(1-e^2)} = 1 $$

両辺に $a^2(1-e^2)$ を掛けて整理します。

$$ (1-e^2)(r\cos\theta + ae)^2 + r^2\sin^2\theta = a^2(1-e^2) $$

展開して $r$ について整理します。

$$ (1-e^2)(r^2\cos^2\theta + 2aer\cos\theta + a^2e^2) + r^2\sin^2\theta = a^2(1-e^2) $$

$$ r^2( (1-e^2)\cos^2\theta + \sin^2\theta ) + 2ae(1-e^2)r\cos\theta + a^2e^2(1-e^2) - a^2(1-e^2) = 0 $$

ここで、$\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$ より、$(1-e^2)\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1 - e^2\cos^2\theta$ です。また、定数項は $a^2e^2(1-e^2) - a^2(1-e^2) = -a^2(1-e^2)^2$ となります。したがって、次の方程式を得ます。

$$ r^2(1-e^2\cos^2\theta) + 2ae(1-e^2)r\cos\theta - a^2(1-e^2)^2 = 0 $$

これを $r$ について因数分解します。

$$ \{ r(1+e\cos\theta) - a(1-e^2) \} \{ r(1-e\cos\theta) + a(1-e^2) \} = 0 $$

ここで、$0 < b < a$ より $0 < e < 1$ であり、$r > 0$ です。また、$-1 \le \cos\theta \le 1$ より $1 \pm e\cos\theta > 0$ であるため、常に

$$ r(1-e\cos\theta) + a(1-e^2) > 0 $$

が成り立ちます。したがって、もう一方の因数が $0$ となります。

$$ r(1+e\cos\theta) - a(1-e^2) = 0 $$

すなわち、求める極方程式は

$$ r = \frac{a(1-e^2)}{1+e\cos\theta} $$

となります。

(2) (1)の結果から、点 $P$ の偏角を $\theta$ とおくと、$F$ を通る弦 $PQ$ の端点 $P, Q$ について、

$$ PF = \frac{a(1-e^2)}{1+e\cos\theta} $$

となります。$Q$ の偏角は $\theta + \pi$ となるため、

$$ QF = \frac{a(1-e^2)}{1+e\cos(\theta+\pi)} = \frac{a(1-e^2)}{1-e\cos\theta} $$

となります。よって、

$$ PF \cdot QF = \frac{a^2(1-e^2)^2}{(1+e\cos\theta)(1-e\cos\theta)} = \frac{a^2(1-e^2)^2}{1-e^2\cos^2\theta} $$

$$ \frac{1}{PF \cdot QF} = \frac{1-e^2\cos^2\theta}{a^2(1-e^2)^2} $$

また、弦 $RS$ は弦 $PQ$ に直交するため、$R, S$ の偏角はそれぞれ $\theta + \frac{\pi}{2}, \theta + \frac{3\pi}{2}$ と表せます。同様に極方程式に代入すると、

$$ RF = \frac{a(1-e^2)}{1+e\cos\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)} = \frac{a(1-e^2)}{1-e\sin\theta} $$

$$ SF = \frac{a(1-e^2)}{1+e\cos\left(\theta+\frac{3\pi}{2}\right)} = \frac{a(1-e^2)}{1+e\sin\theta} $$

よって、

$$ RF \cdot SF = \frac{a^2(1-e^2)^2}{(1-e\sin\theta)(1+e\sin\theta)} = \frac{a^2(1-e^2)^2}{1-e^2\sin^2\theta} $$

$$ \frac{1}{RF \cdot SF} = \frac{1-e^2\sin^2\theta}{a^2(1-e^2)^2} $$

求める値はこれらの和です。

$$ \frac{1}{PF \cdot QF} + \frac{1}{RF \cdot SF} = \frac{1-e^2\cos^2\theta}{a^2(1-e^2)^2} + \frac{1-e^2\sin^2\theta}{a^2(1-e^2)^2} $$

$$ = \frac{2 - e^2(\cos^2\theta + \sin^2\theta)}{a^2(1-e^2)^2} = \frac{2 - e^2}{a^2(1-e^2)^2} $$

この結果を問題文に与えられた $a, b$ を用いて表します。 $b^2 = a^2(1-e^2)$ より $1-e^2 = \frac{b^2}{a^2}$ であり、$e^2 = \frac{a^2-b^2}{a^2}$ です。分子の $2-e^2$ は、

$$ 2 - e^2 = 2 - \frac{a^2-b^2}{a^2} = \frac{a^2+b^2}{a^2} $$

分母の $a^2(1-e^2)^2$ は、

$$ a^2 \left(\frac{b^2}{a^2}\right)^2 = \frac{b^4}{a^2} $$

したがって、求める値は

$$ \frac{1}{PF \cdot QF} + \frac{1}{RF \cdot SF} = \frac{\frac{a^2+b^2}{a^2}}{\frac{b^4}{a^2}} = \frac{a^2+b^2}{b^4} $$

となります。

解法2

(1)の別解として、離心率の幾何学的定義を用います。だ円 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ について、焦点 $F(ae, 0)$ に対応する準線を $l$ とすると、その方程式は $x = \frac{a}{e}$ です。だ円上の点 $P$ の極座標を $(r, \theta)$ とします。極 $F$ からの距離は $PF = r$ です。点 $P$ から準線 $l$ へ下ろした垂線の足を $H$ とすると、二次曲線の定義より以下の式が成り立ちます。

$$ PF = e PH $$

$P$ の直交座標における $x$ 座標は $ae + r\cos\theta$ であるから、$P$ と準線 $x = \frac{a}{e}$ との距離 $PH$ は

$$ PH = \frac{a}{e} - (ae + r\cos\theta) $$

となります（だ円上の点 $P$ は準線の左側にあるため $PH > 0$）。これを定義式に代入します。

$$ r = e \left\{ \frac{a}{e} - (ae + r\cos\theta) \right\} $$

$$ r = a - ae^2 - er\cos\theta $$

$$ r(1+e\cos\theta) = a(1-e^2) $$

$1+e\cos\theta > 0$ であるから、両辺を割ることで

$$ r = \frac{a(1-e^2)}{1+e\cos\theta} $$

を得ます。

解説

二次曲線（放物線、だ円、双曲線）の焦点を極とする極方程式の標準形を導出・活用する典型問題です。 (1)では、直交座標と極座標の変換式を用いて地道に計算する解法1と、二次曲線が「焦点からの距離と準線からの距離の比が一定（離心率 $e$）」となる点の軌跡であることを利用する解法2を示しました。幾何学的性質（解法2）を知っていると計算量が大幅に減るため、二次曲線の極方程式の導出過程として習得しておくことが推奨されます。 (2)は、極方程式の強みが活きる問題です。直交座標系で直線の方程式とだ円の方程式を連立させ、解と係数の関係を用いる方針だと計算が非常に煩雑になります。極方程式を用いれば弦の長さを偏角 $\theta$ だけでシンプルに表すことができ、最終的な結果が偏角 $\theta$ に依存しない一定値になるという美しい性質も導き出せます。