トップ› 九州大学› 2002年› 理系第7問

九州大学 2002年理系第7問解説

方針・初手

まずは関数 $f(\theta)$ を用いて、3つの点 $P_1, P_2, P_3$ の具体的な座標を求めます。 (1) では、与えられた楕円が点 $P_1$ を通る条件と、点 $P_3$ がその内部に含まれる条件を立式し、不等式を $\alpha$ について解きます。 (2) では、媒介変数表示された曲線の微分の公式 $\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{d\theta}}{\frac{dx}{d\theta}}$ を用いて接線の傾きを計算し、直線の方程式を求めます。 (3) では、条件 (i) から楕円 $D$ の式を定数 $\alpha$ を用いて設定し、(ii), (iii) の条件から $\alpha$ の値を具体的に決定します。求めた $\alpha$ を (1) の結果と照らし合わせて判定します。

解法1

関数 $f(\theta) = \frac{(\theta-\pi)^2}{2\pi^2} + \frac{1}{2}$ について、$P_1, P_2, P_3$ に対応する $\theta$ の値を代入して座標を求める。

$P_1 = P(0)$ について、

$$f(0) = \frac{(0-\pi)^2}{2\pi^2} + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$$

よって、$x = 1\cdot \cos 0 = 1$、$y = 1\cdot \sin 0 = 0$ より、$P_1(1, 0)$ である。

$P_2 = P\left(\frac{\pi}{2}\right)$ について、

$$f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\left(\frac{\pi}{2}-\pi\right)^2}{2\pi^2} + \frac{1}{2} = \frac{1}{8} + \frac{1}{2} = \frac{5}{8}$$

よって、$x = \frac{5}{8}\cos\frac{\pi}{2} = 0$、$y = \frac{5}{8}\sin\frac{\pi}{2} = \frac{5}{8}$ より、$P_2\left(0, \frac{5}{8}\right)$ である。

$P_3 = P(\pi)$ について、

$$f(\pi) = \frac{(\pi-\pi)^2}{2\pi^2} + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$$

よって、$x = \frac{1}{2}\cos\pi = -\frac{1}{2}$、$y = \frac{1}{2}\sin\pi = 0$ より、$P_3\left(-\frac{1}{2}, 0\right)$ である。

(1)

楕円 $\frac{(x-\alpha)^2}{a^2} + \frac{(y-\beta)^2}{b^2} = 1$ が点 $P_1(1, 0)$ を通るから、

$$\frac{(1-\alpha)^2}{a^2} + \frac{(0-\beta)^2}{b^2} = 1$$

$$\frac{\beta^2}{b^2} = 1 - \frac{(1-\alpha)^2}{a^2}$$

点 $P_3\left(-\frac{1}{2}, 0\right)$ がこの楕円の内部に含まれるための必要十分条件は、

$$\frac{\left(-\frac{1}{2}-\alpha\right)^2}{a^2} + \frac{(0-\beta)^2}{b^2} < 1$$

である。上の式から $\frac{\beta^2}{b^2}$ を代入すると、

$$\frac{\left(\alpha+\frac{1}{2}\right)^2}{a^2} + 1 - \frac{(1-\alpha)^2}{a^2} < 1$$

$$\frac{\left(\alpha+\frac{1}{2}\right)^2 - (\alpha-1)^2}{a^2} < 0$$

$a > 0$ より $a^2 > 0$ であるため、分子が負になればよい。

$$\left(\alpha^2 + \alpha + \frac{1}{4}\right) - (\alpha^2 - 2\alpha + 1) < 0$$

$$3\alpha - \frac{3}{4} < 0$$

$$\alpha < \frac{1}{4}$$

(2)

曲線の媒介変数表示 $x = f(\theta)\cos\theta, y = f(\theta)\sin\theta$ を $\theta$ で微分する。

$$f'(\theta) = \frac{2(\theta-\pi)}{2\pi^2} = \frac{\theta-\pi}{\pi^2}$$

であるから、$\theta = \frac{\pi}{2}$ のとき $f'\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\frac{1}{2\pi}$ である。

$$\frac{dx}{d\theta} = f'(\theta)\cos\theta - f(\theta)\sin\theta$$

$$\frac{dy}{d\theta} = f'(\theta)\sin\theta + f(\theta)\cos\theta$$

$\theta = \frac{\pi}{2}$ を代入すると、

$$\frac{dx}{d\theta}\left(\frac{\pi}{2}\right) = f'\left(\frac{\pi}{2}\right)\cdot 0 - f\left(\frac{\pi}{2}\right)\cdot 1 = -\frac{5}{8}$$

$$\frac{dy}{d\theta}\left(\frac{\pi}{2}\right) = f'\left(\frac{\pi}{2}\right)\cdot 1 + f\left(\frac{\pi}{2}\right)\cdot 0 = -\frac{1}{2\pi}$$

したがって、点 $P_2$ における接線 $l$ の傾きは

$$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{d\theta}\left(\frac{\pi}{2}\right)}{\frac{dx}{d\theta}\left(\frac{\pi}{2}\right)} = \frac{-\frac{1}{2\pi}}{-\frac{5}{8}} = \frac{4}{5\pi}$$

となる。接線 $l$ は点 $P_2\left(0, \frac{5}{8}\right)$ を通るので、その方程式は

$$y = \frac{4}{5\pi}x + \frac{5}{8}$$

(3)

条件 (i) より、楕円 $D$ の軸の1つは $x$ 軸上にある。したがって、$D$ の中心の $y$ 座標は $0$ であり、$D$ の方程式は

$$\frac{(x-\alpha)^2}{A^2} + \frac{y^2}{B^2} = 1 \quad (A>0, B>0)$$

とおける。（これは (1) において $\beta=0$ とした場合に相当する）

条件 (ii) より、$D$ は $P_1(1,0)$ を通るので、

$$\frac{(1-\alpha)^2}{A^2} + 0 = 1 \implies A^2 = (1-\alpha)^2$$

また、$D$ は $P_2\left(0, \frac{5}{8}\right)$ を通るので、

$$\frac{\alpha^2}{A^2} + \frac{\left(\frac{5}{8}\right)^2}{B^2} = 1 \implies \frac{25}{64B^2} = 1 - \frac{\alpha^2}{(1-\alpha)^2}$$

$$\frac{25}{64B^2} = \frac{(1-\alpha)^2 - \alpha^2}{(1-\alpha)^2} = \frac{1-2\alpha}{(1-\alpha)^2}$$

$$B^2 = \frac{25(1-\alpha)^2}{64(1-2\alpha)}$$

条件 (iii) より、点 $P_2$ における $D$ の接線が $l$ である。点 $P_2\left(0, \frac{5}{8}\right)$ における $D$ の接線の方程式は

$$\frac{(0-\alpha)(x-\alpha)}{A^2} + \frac{\frac{5}{8}y}{B^2} = 1$$

$$-\frac{\alpha}{A^2}x + \frac{\alpha^2}{A^2} + \frac{5}{8B^2}y = 1$$

$$\frac{5}{8B^2}y = \frac{\alpha}{A^2}x + 1 - \frac{\alpha^2}{A^2}$$

ここで $1 - \frac{\alpha^2}{A^2} = \frac{25}{64B^2}$ であるから、

$$\frac{5}{8B^2}y = \frac{\alpha}{A^2}x + \frac{25}{64B^2}$$

両辺に $\frac{8B^2}{5}$ を掛けると、

$$y = \frac{8B^2\alpha}{5A^2}x + \frac{5}{8}$$

これが $l: y = \frac{4}{5\pi}x + \frac{5}{8}$ と一致するので、傾きを比較して

$$\frac{8B^2\alpha}{5A^2} = \frac{4}{5\pi} \implies \frac{B^2\alpha}{A^2} = \frac{1}{2\pi}$$

先に求めた $A^2$ と $B^2$ の式を代入する。

$$\frac{25(1-\alpha)^2}{64(1-2\alpha)} \cdot \frac{\alpha}{(1-\alpha)^2} = \frac{1}{2\pi}$$

$$\frac{25\alpha}{64(1-2\alpha)} = \frac{1}{2\pi}$$

$$25\pi\alpha = 32(1-2\alpha)$$

$$(25\pi + 64)\alpha = 32$$

$$\alpha = \frac{32}{25\pi + 64}$$

この $\alpha$ が、(1) で求めた「$P_3$ が内部に含まれる条件」である $\alpha < \frac{1}{4}$ を満たすか確認する。 $\pi > 2.56 = \frac{64}{25}$ より、$25\pi > 64$ が成り立つため、

$$25\pi + 64 > 64 + 64 = 128$$

よって、

$$\alpha = \frac{32}{25\pi + 64} < \frac{32}{128} = \frac{1}{4}$$

したがって $\alpha < \frac{1}{4}$ が成立し、点 $P_3$ は楕円 $D$ の内部に含まれる。

解説

媒介変数表示された曲線の微分の扱いと、楕円の標準形・接線の方程式の知識を組み合わせる総合問題です。 (1) では「楕円が点を通る」という等式条件を用いて未知数を減らし、「内部に含まれる」という不等式条件に還元する処理が問われます。 (2) では媒介変数表示の微分の公式 $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta}$ を正確に用いる計算力が求められます。 (3) は (1) (2) の結果を利用する構成になっており、楕円 $D$ の式を仮定して接線の式を導出し、恒等式として係数比較を行うことでスムーズに解答できます。最後に $\pi$ のおおよその値（$\pi > 3.14$）を用いて不等式評価を完了させる点も重要です。