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九州大学 1974年理系第4問解説

方針・初手

放物線と直線の接する条件から、パラメータ $a$ と $b$ の関係式を導出することが第一歩である。そこから $b$ のとり得る値の範囲を特定する。その後、回転体の体積 $V$ を $b$ の関数として定式化し、微積分を用いて最大値を求める。放物線と $x$ 軸の交点が線分 $BC$ 上に収まっているかの確認も忘れないようにする。

解法1

(1)

直線 $AB$ は点 $A(0, 1)$ と $B(1, 0)$ を通るので、その方程式は

$$y = -x + 1 \quad (0 \leqq x \leqq 1)$$

である。放物線 $y = -ax^2 + b$ と直線 $y = -x + 1$ が接するとき、これらから $y$ を消去した $x$ についての2次方程式

$$-ax^2 + b = -x + 1 \iff ax^2 - x + 1 - b = 0$$

は重解をもつ。判別式を $D$ とすると $D = 0$ となるから、

$$(-1)^2 - 4a(1 - b) = 0 \iff 4a(1 - b) = 1$$

問題の条件より $a > \frac{1}{2}$ であるから、

$$1 - b = \frac{1}{4a} > 0 \iff b < 1$$

また、条件 $b > 0$ とあわせて $0 < b < 1$ となる。さらに、$1 - b = \frac{1}{4a}$ を変形して

$$a = \frac{1}{4(1 - b)}$$

を得る。$a > \frac{1}{2}$ より

$$\frac{1}{4(1 - b)} > \frac{1}{2} \iff 1 - b < \frac{1}{2} \iff b > \frac{1}{2}$$

以上より、$b$ のとり得る値の範囲は $\frac{1}{2} < b < 1$ である。このとき、接点の $x$ 座標は重解 $x = \frac{1}{2a} = 2(1-b)$ で与えられ、$\frac{1}{2} < b < 1$ より $0 < 2(1-b) < 1$ となる。これは接点が線分 $AB$ 上にあることを満たしている。（放物線と $\triangle ABC$ はともに $y$ 軸対称であるから、放物線は辺 $AC$ にも同様に接する）

次に、放物線 $y = -ax^2 + b$ と $x$ 軸との交点の $x$ 座標を調べる。$y = 0$ とすると

$$ax^2 = b \iff x = \pm \sqrt{\frac{b}{a}}$$

ここで、$\frac{b}{a}$ を計算すると

$$\frac{b}{a} = 4b(1 - b) = -4\left(b - \frac{1}{2}\right)^2 + 1$$

$\frac{1}{2} < b < 1$ においては $0 < \frac{b}{a} < 1$ であるため、$0 < \sqrt{\frac{b}{a}} < 1$ となる。したがって、放物線と $x$ 軸の交点は線分 $BC$（$-1 \leqq x \leqq 1$）上に存在する。

放物線と線分 $BC$ で囲まれる部分を $y$ 軸のまわりに回転してできる立体の体積 $V$ は、$y$ 軸に垂直な平面で切断した円の面積を $y$ 方向に積分して求められる。

$$V = \pi \int_{0}^{b} x^2 \, dy$$

$y = -ax^2 + b$ より $x^2 = \frac{b - y}{a}$ であるから、

$$\begin{aligned} V &= \pi \int_{0}^{b} \frac{b - y}{a} \, dy \\ &= \frac{\pi}{a} \left[ b y - \frac{1}{2} y^2 \right]_{0}^{b} \\ &= \frac{\pi}{a} \left( b^2 - \frac{1}{2} b^2 \right) \\ &= \frac{\pi b^2}{2a} \end{aligned}$$

これに $a = \frac{1}{4(1 - b)}$ を代入して、

$$V = \frac{\pi b^2}{2 \cdot \frac{1}{4(1 - b)}} = 2\pi b^2 (1 - b)$$

となる。

(2)

(1) の結果より、$V(b) = 2\pi(b^2 - b^3)$ である。 $f(b) = b^2 - b^3$ とおく。（$\frac{1}{2} < b < 1$） $f(b)$ を $b$ で微分すると、

$$f'(b) = 2b - 3b^2 = b(2 - 3b)$$

$f'(b) = 0$ となる $b$ の値は $b = 0, \frac{2}{3}$ であり、$\frac{1}{2} < b < 1$ における $f(b)$ の増減表は以下のようになる。

$b$	$\left(\frac{1}{2}\right)$	$\cdots$	$\frac{2}{3}$	$\cdots$	$(1)$
$f'(b)$		$+$	$0$	$-$
$f(b)$		$\nearrow$	極大	$\searrow$

増減表より、$f(b)$ は $b = \frac{2}{3}$ のとき最大値をとる。その値は、

$$f\left(\frac{2}{3}\right) = \left(\frac{2}{3}\right)^2 - \left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{4}{9} - \frac{8}{27} = \frac{4}{27}$$

したがって、$V$ の最大値は

$$V = 2\pi \cdot \frac{4}{27} = \frac{8}{27}\pi$$

である。

このとき、$a$ の値は

$$a = \frac{1}{4\left(1 - \frac{2}{3}\right)} = \frac{1}{4 \cdot \frac{1}{3}} = \frac{3}{4}$$

である。放物線が辺 $AB$ に接する点 $P$ の $x$ 座標は $x = \frac{1}{2a}$ であったから、

$$x = \frac{1}{2 \cdot \frac{3}{4}} = \frac{2}{3}$$

点 $P$ は直線 $y = -x + 1$ 上にあるから、その $y$ 座標は

$$y = -\frac{2}{3} + 1 = \frac{1}{3}$$

したがって、点 $P$ の座標は $\left(\frac{2}{3}, \frac{1}{3}\right)$ である。

解説

放物線と直線の接条件から文字定数の関係式を導き、積分を用いて回転体の体積を求め、微分で最大値を求めるという、微積分の総合問題である。注意すべき点として、$V$ を求める際に、放物線と $x$ 軸との交点 $\left(\pm \sqrt{\frac{b}{a}}, 0\right)$ が線分 $BC$ （$-1 \leqq x \leqq 1$）の内部に含まれることを確認すること、そして $a > \frac{1}{2}$ という条件から $b$ の変域が絞り込まれることが挙げられる。この変域の確認を怠ると、増減表の有効範囲が不明確になるため、必ず記述しておくべきポイントである。回転体の体積計算は、円筒殻法（バームクーヘン積分）を用いて $V = 2\pi \int_{0}^{\sqrt{b/a}} x(-ax^2+b) dx$ と立式しても同様の結果が得られるが、$y$ 軸まわりの回転体であるため、円板法で $y$ について積分する方が素直で計算も簡潔である。