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九州大学 1974年理系第6問解説

方針・初手

(1) 曲線 $y = \log x$ の導関数を用いて接線の傾きを求めます。それが直線 $AB$ の傾きと等しくなるという条件から $c$ を導きます。
(2) $a, b, c$ の大小関係を確認し、三角形の底辺の長さを決定します。面積の和 $S_1 + S_2$ を立式した後、(1) で求めた関係式を利用して $c$ を消去し、指定された形に変形します。
(3) 求める面積 $S$ は、曲線 $y = \log x$ と $x$ 軸に囲まれた図形の面積から、2つの三角形の面積 $S_1, S_2$ を引いたものとして図形的に捉えることができます。定積分を計算し、(2) の結果と比較します。

解法1

(1)

曲線①は $y = \log x$ であり、その導関数は

$$y' = \frac{1}{x}$$

である。 2点 $A(a, \log a), B(b, \log b)$ を通る直線 $AB$ の傾きは

$$\frac{\log b - \log a}{b - a}$$

となる。曲線①上の点 $C(c, \log c)$ における接線が直線 $AB$ に平行であるため、点 $C$ における接線の傾き $\frac{1}{c}$ は直線 $AB$ の傾きに等しい。したがって、

$$\frac{1}{c} = \frac{\log b - \log a}{b - a}$$

が成り立つ。これを $c$ について解くと、

$$c = \frac{b - a}{\log b - \log a}$$

となる。

(2)

$f(x) = \log x$ とおくと、区間 $[a, b]$ において平均値の定理を満たす $c$ が $a < c < b$ の範囲に存在する。 $D(a, 0), F(c, 0), E(b, 0)$ であるから、$a < c < b$ より線分の長さはそれぞれ $DF = c - a, FE = b - c$ となる。また、$1 < a < b$ であるから、$AD = \log a > 0, BE = \log b > 0$ である。したがって、直角三角形 $\triangle ADF$ の面積 $S_1$ と直角三角形 $\triangle BEF$ の面積 $S_2$ は

$$S_1 = \frac{1}{2} (c - a) \log a$$

$$S_2 = \frac{1}{2} (b - c) \log b$$

と表せる。これらの和をとると、

$$\begin{aligned} S_1 + S_2 &= \frac{1}{2} (c - a) \log a + \frac{1}{2} (b - c) \log b \\ &= \frac{1}{2} \{ c \log a - a \log a + b \log b - c \log b \} \\ &= \frac{1}{2} \{ b \log b - a \log a - c (\log b - \log a) \} \end{aligned}$$

ここで、(1) で求めた関係式より

$$c (\log b - \log a) = b - a$$

であるから、これを代入して $c$ を消去すると、

$$\begin{aligned} S_1 + S_2 &= \frac{1}{2} \{ b \log b - a \log a - (b - a) \} \\ &= \frac{1}{2} (b \log b - a \log a) - \frac{1}{2} (b - a) \end{aligned}$$

となる。これが $p(b \log b - a \log a) + q(b - a)$ と一致するので、係数を比較して

$$p = \frac{1}{2}, \quad q = -\frac{1}{2}$$

を得る。

(3)

曲線 $y = \log x$ は $y'' = -\frac{1}{x^2} < 0$ より上に凸である。したがって、区間 $[a, c]$ において線分 $AF$ は曲線①の下側にあり、区間 $[c, b]$ において線分 $BF$ は曲線①の下側にある。曲線①と2直線 $AF, BF$ で囲まれる部分の面積 $S$ は、曲線 $y = \log x$ と直線 $x=a, x=b$ および $x$ 軸で囲まれた部分の面積から、$\triangle ADF$ と $\triangle BEF$ の面積を引いたものに等しい。これを定積分で表すと、

$$S = \int_{a}^{b} \log x \, dx - (S_1 + S_2)$$

となる。ここで定積分を計算すると、

$$\begin{aligned} \int_{a}^{b} \log x \, dx &= \Big[ x \log x - x \Big]_{a}^{b} \\ &= (b \log b - b) - (a \log a - a) \\ &= b \log b - a \log a - (b - a) \end{aligned}$$

となる。(2) の結果より、

$$b \log b - a \log a - (b - a) = 2(S_1 + S_2)$$

であることがわかるため、これを面積 $S$ の式に代入すると、

$$\begin{aligned} S &= 2(S_1 + S_2) - (S_1 + S_2) \\ &= S_1 + S_2 \end{aligned}$$

となる。したがって、$S$ と $S_1 + S_2$ は等しい。

解説

微積分と図形の面積を絡めた標準的な問題です。 (1) では接線の傾きと平均変化率の関係を正確に式にします。(2) では図形的な位置関係から三角形の面積を求め、(1) の式を使って文字を減らすという基本方針が大切です。 (3) は面積 $S$ をまともに定積分で求めようとすると直線の式が必要になり計算が煩雑になりますが、図形全体を俯瞰し「（曲線の下の面積）ー（2つの三角形の面積）」という構成に気づければ、すでに計算済みの値がきれいに組み合わさるようになっています。