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九州大学 1982年理系第1問解説

方針・初手

(1) は有理数解を既約分数で設定し、方程式に代入して分母を払うことで、整数問題における「互いに素」の性質を利用して証明する。

(2) は背理法を用いる。(1) の結果を利用し、有理数解が存在すると仮定するとそれは整数解となることを使う。さらに、整数係数多項式 $f(x)$ において、任意の整数 $a, b$ に対して $f(a)-f(b)$ が $a-b$ の倍数になるという性質（合同式の性質）を活用して矛盾を導く。

解法1

(1)

有理数 $\alpha$ が $f(x)=0$ の解であるとき、$\alpha = \frac{p}{q}$ （$p, q$ は互いに素な整数、$q \ge 1$）とおく。

$f(\alpha) = 0$ より、

$$ \left(\frac{p}{q}\right)^n + a_1\left(\frac{p}{q}\right)^{n-1} + \cdots + a_{n-1}\left(\frac{p}{q}\right) + a_n = 0 $$

両辺に $q^n$ を掛けると、

$$ p^n + a_1 p^{n-1} q + \cdots + a_{n-1} p q^{n-1} + a_n q^n = 0 $$

$$ p^n = -q(a_1 p^{n-1} + \cdots + a_{n-1} p q^{n-2} + a_n q^{n-1}) $$

$a_1, \dots, a_n$ および $p, q$ はすべて整数であるから、右辺は $q$ の倍数である。

したがって $p^n$ は $q$ の倍数である。

ここで、$p$ と $q$ は互いに素であるから、$p^n$ と $q$ も互いに素である。

$p^n$ が $q$ の倍数であり、かつ $p^n$ と $q$ が互いに素となるのは、$q=1$ のときに限られる。

$q=1$ のとき $\alpha = p$ となり、$\alpha$ は整数である。（証明終）

(2)

方程式 $f(x)=0$ が有理数の解をもつと仮定し、背理法を用いて証明する。

(1) の結果より、その解は整数である。この整数解を $m$ とおく。すなわち $f(m) = 0$ である。

$m$ を $k$ で割った余りを $r'$ とおくと、$m = qk + r'$ （$q$ は整数、$0 \le r' \le k-1$）と表せる。

ここで、 $r' = 0$ のときは $r = k$、 $1 \le r' \le k-1$ のときは $r = r'$ と定めると、$m \equiv r \pmod k$ となり、かつ $r$ は $1, 2, \dots, k$ のいずれかの整数となる。

これにより、$m - r$ は $k$ の倍数である。

任意の整数 $a, b$ と正の整数 $i$ に対して、

$$ a^i - b^i = (a-b)(a^{i-1} + a^{i-2}b + \cdots + b^{i-1}) $$

と因数分解されるため、$a^i - b^i$ は $a-b$ の倍数である。

これを用いると、

$$ f(m) - f(r) = (m^n - r^n) + a_1(m^{n-1} - r^{n-1}) + \cdots + a_{n-1}(m - r) $$

の各項は $m-r$ の倍数であるから、$f(m) - f(r)$ は $m-r$ の倍数である。

$m-r$ は $k$ の倍数であるため、$f(m) - f(r)$ も $k$ の倍数となる。

仮定より $f(m)=0$ であるから、$f(m) - f(r) = -f(r)$ となり、$-f(r)$ は $k$ の倍数である。

すなわち、$f(r)$ は $k$ で割り切れる。

しかし、$r$ は $1, 2, \dots, k$ のいずれかの整数であるから、これは「$k$ 個の整数 $f(1), f(2), \dots, f(k)$ のどれもが $k$ で割り切れない」という条件に矛盾する。

したがって、方程式 $f(x) = 0$ は有理数の解をもたない。（証明終）

解説

(1) はモニック多項式（最高次の係数が $1$ の多項式）の有理数解が必ず整数になるという、有理根定理の系として有名な性質の証明である。有理数を既約分数で表し、互いに素という性質を利用する整数問題の典型的なアプローチが求められる。

(2) は整式における合同式の性質、すなわち「$A \equiv B \pmod M$ ならば $f(A) \equiv f(B) \pmod M$」を背景とした問題である。この性質は $A-B$ が $f(A)-f(B)$ を割り切るという事実から導かれる。(1) の結果で解を整数に限定したうえで、背理法を用いて矛盾を導き出す論理展開が重要となる。